Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，BC＞AD，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm，F點(diǎn)以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜5）．

（1）求證：△ACD∽△BAC；

（2）求DC的長；

（3）試探究：△BEF可以為等腰三角形嗎？若能，求t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DC＝6.4cm；（3）當(dāng)△EFB為等腰三角形時(shí)，t的值為秒或秒或秒．

【解析】

（1）根據(jù)三角形相似的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）由△ACD∽△BAC，得，結(jié)合＝8cm，即可求解；

（3）若△EFB為等腰三角形，可分如下三種情況：①當(dāng) BF＝BE時(shí)， ②當(dāng)EF＝EB時(shí)，③當(dāng)FB＝FE時(shí)，分別求出t的值，即可．

（1）∵CD∥AB，

∴∠BAC＝∠DCA，

又AC⊥BC，∠ACB＝90°，

∴∠D＝∠ACB＝90°，

∴△ACD∽△BAC；

（2）在Rt△ABC中，＝8cm，

由（1）知，△ACD∽△BAC，

∴ ，

即: ，解得：DC＝6.4cm；

（3）△BEF能為等腰三角形，理由如下：

由題意得：AF＝2t，BE＝t，

若△EFB為等腰三角形，可分如下三種情況：

①當(dāng) BF＝BE時(shí)，10﹣2t＝t，解得：t=；

②當(dāng)EF＝EB時(shí)，如圖1，過點(diǎn)E作AB的垂線，垂足為G，

則，此時(shí)△BEG∽△BAC，

∴，即 ，

解得：t=；

③當(dāng)FB＝FE時(shí)，如圖2，過點(diǎn)F作AB的垂線，垂足為H，

則，此時(shí)△BFH∽△BAC，

∴，即 ，

解得：；

綜上所述：當(dāng)△EFB為等腰三角形時(shí)，t的值為秒或秒或秒．