【題目】已知,如圖,拋物線y=ax2+3ax+c(a>0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè).點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB,
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn),求四邊形ABCD面積的最大值.
【答案】(1);(2)四邊形ABCD面積有最大值.
【解析】
(1)已知B點(diǎn)坐標(biāo),易求得OB、OC的長(zhǎng),進(jìn)而可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線中,求出待定系數(shù)的值,即可得出拋物線的解析式.
(2)根據(jù)A、C的坐標(biāo),易求得直線AC的解析式.由于AB、OC都是定值,則△ABC的面積不變,若四邊形ABCD面積最大,則△ADC的面積最大;可過(guò)D作x軸的垂線,交AC于M,x軸于N;易得△ADC的面積是DM與OA積的一半,可設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo),分別代入直線AC和拋物線的解析式中,即可求出DM的長(zhǎng),進(jìn)而可得出四邊形ABCD的面積與N點(diǎn)橫坐標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCD的最大面積.
(1)∵B(1,0),
∴OB=1;
∵OC=3BO,
∴C(0,﹣3);
∵y=ax2+3ax+c過(guò)B(1,0)、C(0,﹣3),
∴;
解這個(gè)方程組,得,
∴拋物線的解析式為:y=x2+x﹣3;
(2)過(guò)點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M、N
在y=x2+x﹣3中,令y=0,
得方程x2+x﹣3=0解這個(gè)方程,得x1=﹣4,x2=1
∴A(﹣4,0)
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b
∴,
解這個(gè)方程組,得,
∴AC的解析式為:y=﹣x﹣3,
∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC
=+DM(AN+ON)
=+2DM
設(shè)D(x,x2+x﹣3),M(x,﹣x﹣3),
DM=﹣x﹣3﹣(x2+x﹣3)=﹣(x+2)2+3,
當(dāng)x=﹣2時(shí),DM有最大值3
此時(shí)四邊形ABCD面積有最大值=+2×3=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與(x>0,0<m<n)的圖象上,對(duì)角線BD//y軸,且BD⊥AC于點(diǎn)P.已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.
(1)當(dāng)m=4,n=20時(shí).
①若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,求直線AB的函數(shù)表達(dá)式.
②若點(diǎn)P是BD的中點(diǎn),試判斷四邊形ABCD的形狀,并說(shuō)明理由.
(2)四邊形ABCD能否成為正方形?若能,求此時(shí)m,n之間的數(shù)量關(guān)系;若不能,試說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)D在AB邊上,CD與OB交于點(diǎn)E,∠ACD=∠OBC;
(1)如圖1,求證:CD⊥AB;
(2)如圖2,當(dāng)∠BAC=∠OBC+∠BCD時(shí),求證:BO平分∠ABC;
(3)如圖3,在(2)的條件下,作OF⊥BC于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G,作OH⊥CD于點(diǎn)H,連接FH并延長(zhǎng),交OB于點(diǎn)P,交AB邊于點(diǎn)M.若OF=3,MH=5,求AC邊的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),連接AE、CF.
(1)求證:四邊形AECF是矩形;
(2)若AB=6,求菱形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題:如圖1,等腰直角三角形中,,點(diǎn)、點(diǎn)分別在邊上,且,顯然.
變式:若將圖1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)在的內(nèi)部,其它條件不變(如圖2),請(qǐng)你猜想線段與線段的關(guān)系,并加以證明.
拓展:若圖2中的、都為等邊三角形,其它條件不變(如圖3),則__________,直線與相交所夾的銳角為__________°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)F.
(1)求證:△FBD∽△FAC;
(2)如果BD平分∠ADC,BD=5,BC=2,求DE的長(zhǎng);
(3)如果∠CAD=60°,DC=DE,求證:AE=AF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線 與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.
如圖1,在中,是的完美分割線,且, 則的度數(shù)是
如圖2,在中,為角平分線,,求證: 為的完美分割線.
如圖2,中,是的完美分割線,且是以為底邊的等腰三角形,求完美分割線的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0)和C(0,3).(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在點(diǎn)P,使PA+PC的值最?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)設(shè)點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上,當(dāng)△MAC是直角三角形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥DC,BC>AD,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F點(diǎn)以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動(dòng),E點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<5).
(1)求證:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的長(zhǎng);
(3)試探究:△BEF可以為等腰三角形嗎?若能,求t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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