【題目】已知,如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),OF⊥BC于點(diǎn)F,交⊙O于點(diǎn)E,AE與BC交于點(diǎn)H,點(diǎn)D為OE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠ODB=∠AEC.
(1)求證:BD是⊙O的切線;
(2)求證:CE2=EHEA;
(3)若⊙O的半徑為 ,sinA= ,求BH的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:如圖1中,

∵∠ODB=∠AEC,∠AEC=∠ABC,

∴∠ODB=∠ABC,

∵OF⊥BC,

∴∠BFD=90°,

∴∠ODB+∠DBF=90°,

∴∠ABC+∠DBF=90°,

即∠OBD=90°,

∴BD⊥OB,

∴BD是⊙O的切線


(2)證明:連接AC,如圖2所示:

∵OF⊥BC,

=

∴∠CAE=∠ECB,

∵∠CEA=∠HEC,

∴△CEH∽△AEC,

= ,

∴CE2=EHEA


(3)解:連接BE,如圖3所示:

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠AEB=90°,

∵⊙O的半徑為 ,sin∠BAE=

∴AB=5,BE=ABsin∠BAE=5× =3,

∴EA= =4,

=

∴BE=CE=3,

∵CE2=EHEA,

∴EH= ,

∴在Rt△BEH中,BH= = =


【解析】(1)如圖1中,欲證明BD是切線,只要證明AB⊥BD即可;(2)連接AC,如圖2所示,欲證明CE2=EHEA,只要證明△CEH∽△AEC即可;(3)連接BE,如圖3所示,由CE2=EHEA,可得EH= ,在Rt△BEH中,根據(jù)BH= ,計(jì)算即可;

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示直線AB,CD相交于點(diǎn)O,作∠DOE=BODOF平分∠AOE.

(1)判斷OFOD的位置關(guān)系;

(2)若∠AOC∶∠AOD=15,求∠EOF的度數(shù).

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【題目】本學(xué)期學(xué)校開(kāi)展以感受中華傳統(tǒng)美德為主題的研學(xué)活動(dòng),組織150名學(xué)生參觀歷史博物館和民俗展覽館,每一名學(xué)生只能參加其中一項(xiàng)活動(dòng),共支付票款2000元,票價(jià)信息如下:

地點(diǎn)

票價(jià)

歷史博物館

10/

民俗展覽館

20/

(1)請(qǐng)問(wèn)參觀歷史博物館和民俗展覽館的人數(shù)各是多少人?

(2)若學(xué)生都去參觀歷史博物館,則能節(jié)省票款多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示:一副三角板如圖放置,等腰直角三角板ABC固定不動(dòng),另一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)D處,且可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,兩直角邊的交點(diǎn)GH始終在邊AB、BC上.

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段BGCH大小有何關(guān)系?證明你的結(jié)論.

,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中四邊形GBHD的面積是否改變?若不變,求出它的值;若改變,求出它的取值范圍.

若交點(diǎn)G、H分別在邊AB、BC的延長(zhǎng)線上,則中的結(jié)論仍然成立嗎?請(qǐng)畫(huà)出相應(yīng)的圖形,直接寫(xiě)出結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知RtABCRtADE,其中∠ACB=AED=90°.

(1)將這兩個(gè)三角形按圖①方式擺放,使點(diǎn)E落在AB上,DE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F.求證:BF+EF=DE;

(2)改變ADE的位置,使DEBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F(如圖②),則(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,加以證明;若不成立,寫(xiě)出此時(shí)BF、EFDE之間的等量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由(根據(jù)解題的要求,在橫線處或括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)適當(dāng)?shù)膬?nèi)容或理由).

解:∠AED=∠C.

理由如下:

∵∠1+∠4=180°,∠1+∠2=180°,

∴∠2=∠4,∴ABEF,

∴________________(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).

又∵∠3=∠B,∴∠B=∠ADE

DEBC(____________________________),

∴∠AED=∠C(__________________________).

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【題目】隨著中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日端午節(jié)的臨近,東方紅商場(chǎng)決定開(kāi)展歡度端午,回饋顧客的讓利促銷(xiāo)活動(dòng),對(duì)部分品牌粽子進(jìn)行打折銷(xiāo)售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折,已知打折前,買(mǎi)6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,買(mǎi)50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.

(1)打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元?

(2)陽(yáng)光敬老院需購(gòu)買(mǎi)甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒,問(wèn)打折后購(gòu)買(mǎi)這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢(qián)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M是直線y=2與x軸之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)M是拋物線y= +bx+c的頂點(diǎn),則拋物線y= +bx+c與直線y=1交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(
A.0個(gè)或1個(gè)
B.0個(gè)或2個(gè)
C.1個(gè)或2個(gè)
D.0個(gè)、1個(gè)或2個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為滿足市場(chǎng)需求,新生活超市在端午節(jié)前夕購(gòu)進(jìn)價(jià)格為3元/個(gè)的某品牌粽子,根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),該品牌粽子每個(gè)售價(jià)4元時(shí),每天能出售500個(gè),并且售價(jià)每上漲0.1元,其銷(xiāo)售量將減少10個(gè),為了維護(hù)消費(fèi)者利益,物價(jià)部門(mén)規(guī)定,該品牌粽子售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的200%,請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)幫助超市給該品牌粽子定價(jià),使超市每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為800元.

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