Question

【題目】如圖①，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N是動(dòng)點(diǎn)，分別從A，C出發(fā)，以相同的速度沿AC，CB邊上運(yùn)動(dòng)．

（1）判斷DM與DN的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若AC=BC=2，請(qǐng)直接寫出四邊形MCND的面積；

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后，將改變方向沿著CB運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，點(diǎn)N在CB延長(zhǎng)線上，過(guò)M作ME⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作NF⊥DB交DB延長(zhǎng)線于F，求證：ME=NF．

Answer 1

【答案】（1）DM與DN相等；（2）S四邊形MCND=1；（3）見解析.

【解析】

（1）連接CD，判定△ADM≌△CDN，即可得出DM=DN；

（2）依據(jù)△ADM≌△CDN，可得S△ADM=S△CDN，再根據(jù)S四邊形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）依據(jù)CM=BN，∠CEM=∠F=90°，∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，即可得到△CME≌△BNF，進(jìn)而得出ME=NF．

（1）DM與DN相等．

如圖1，連接CD，

∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，

∴CD=AD，∠DCN=45°=∠A，

又∵點(diǎn)M和點(diǎn)N的移動(dòng)速度相等，

∴CN=AM，

∴△ADM≌△CDN，

∴DM=DN；

（2）如圖1，∵△ADM≌△CDN，

∴S△ADM=S△CDN，

∴S四邊形MCND=S△CDM+S△CDN=S△ADM+S△CDN=S△ACD=S△ABC=××2×2=1；

（3）如圖2，∵點(diǎn)M和點(diǎn)N的移動(dòng)速度相等，

∴AC+CM=BC+BN，而AC=BC，

∴CM=BN，

∵M(jìn)E⊥CD，NF⊥DB，

∴∠CEM=∠F=90°，

又∵∠MCE=∠ABC=∠FBN=45°，

∴△CME≌△BNF，

∴ME=NF．