【題目】如圖,ABCD位于直角坐標(biāo)系中,AB=2,點D(0,1),以點C為頂點的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過x軸正半軸上的點A,B,CE⊥x軸于點E.

(1)求點A,B,C的坐標(biāo).

(2)將該拋物線向上平移m個單位恰好經(jīng)過點D,且這時新拋物線交x軸于點M,N.

MN的長.

P是新拋物線對稱軸上一動點,將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°AQ,則OQ的最小值為   (直接寫出答案即可)

【答案】(1)A(1,0),B(3,0),C(2,1);(2)MN=

【解析】

1)由ABCD可知CD,進(jìn)而求出EC點坐標(biāo),由AB長從而求出AB.(2)①由第一問解出拋物線方程,上移m更改拋物線方程,由其過D,進(jìn)而求出上移后拋物線方程,再求MN.②根據(jù)三角函數(shù),求出最小值.

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

CD=AB=2,

CEx軸,

OE=2,

∵點EAB中點,

AE=BE=1,

OA=2﹣1=1.OB=OE+BE=3,

A(1,0),B(3,0),

D(0,1),

C(2,1);

(2)由(1)知,拋物線的頂點C(2,1),

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣2)2+1,

A(1,0)在拋物線上,

a(1﹣2)2+1=0,

a=﹣1,

∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣2)2+1,

①該拋物線向上平移m個單位恰好經(jīng)過點D,設(shè)平移后的拋物線解析式為y=﹣(x﹣2)2+1+m,

D(0,1),

﹣(﹣2)2+1+m=1,

m=4,

∴平移后的拋物線解析式為y=﹣(x﹣2)2+5,

y=0,

0=﹣(x﹣2)2+5,

x=2±,

M(2+,0),N(2﹣,0),

MN=2;

②如圖,

在第一象限的拋物線對稱軸上取一點P1,使∠P1AB=60°,

RtAEP1中,AP1=2AE=2,P2E=

∴點Q1和點B重合,

Q1(3,0),P1(2,),

在第一象限的拋物線對稱軸上取一點P2,使∠P2AB=30°,

RtAEP2中,P2E=AEtan30°=,

∴點Q2(2,﹣),

∴直線Q1Q2的解析式y=x﹣

在第二象限的拋物線對稱軸上取一點P3,使∠P3AE=60°,

由旋轉(zhuǎn)知,Q3和點P1關(guān)于點A對稱,

Q3(0,﹣),

∴點Q3在直線Q1Q2上,

∴點Q的運動軌跡是直線Q1Q2,

∴當(dāng)OQQ1Q2時,OD最短,

Q1Q3=2

OD最小==,

故答案為

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【題目】如圖,CD是⊙O的直徑,AB,EF是⊙O的弦,且ABCDEF,AB=16,CD=20,EF=12,則圖中陰影部分的面積是( 。

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(1)請在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系,并標(biāo)出景點C的位置;

(2)平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點為點O,ACO是直角三角形嗎?請判斷并說明理由.

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【題目】y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,當(dāng)△ABC為直角三角形時,則( 。

A. ac=﹣1 B. ac=1 C. ac=±1 D. 無法確定

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【題目】如圖,四邊形ABCD 是平行四邊形,AB=c,AC=b,BC=a,拋物線 y=ax2+bx﹣c x 軸的一個交點為(m,0).

(1)若四邊形ABCD是正方形,求拋物線y=ax2+bx﹣c的對稱軸;

(2) m=c,ac﹣4b<0,且 a,b,c為整數(shù),求四邊形 ABCD的面積.

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【題目】綜合與探究

如圖1,拋物線y=ax2+bx+2x軸交于A(﹣1,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C,連接AC,BC.D為坐標(biāo)平面第四象限內(nèi)一點,且使得△ABD△ABC全等.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)請直接寫出點D的坐標(biāo),并判斷四邊形ACBD的形狀.

(3)如圖2,將△ABD沿y軸的正方形以每秒1個單位長度的速度平移,得到△A′B′D′,A′B′BC交于點E,A′D′AB交于點F.連接EF,AB′,EFAB′交于點G.設(shè)運動的時間為t(0≤t≤2)秒.

當(dāng)直線EF經(jīng)過拋物線的頂點T時,請求出此時t的值;

請直接寫出點G經(jīng)過的路徑的長.

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【題目】1)問題發(fā)現(xiàn):如圖(1),已知:在三角形中,,,直線經(jīng)過點,直線,直線,垂足分別為點,試寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________________

2)思考探究:如圖(2),將圖(1)中的條件改為:在, 三點都在直線上,并且,其中為任意銳角或鈍角.請問(1)中結(jié)論還是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

3)拓展應(yīng)用:如圖(3),三點所在直線上的兩動點,(三點互不重合),點平分線上的一點,且均為等邊三角形,連接,若,試判斷的形狀并說明理由.

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