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【題目】1)問題發(fā)現(xiàn):如圖(1),已知:在三角形中,,,直線經過點直線,直線,垂足分別為點,試寫出線段之間的數量關系為_________________

2)思考探究:如圖(2),將圖(1)中的條件改為:在, 三點都在直線上,并且,其中為任意銳角或鈍角.請問(1)中結論還是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

3)拓展應用:如圖(3),三點所在直線上的兩動點,(三點互不重合),點平分線上的一點,且均為等邊三角形,連接,若,試判斷的形狀并說明理由.

【答案】1DE=CE+BD;(2)成立,理由見解析;(3)△DEF為等邊三角形,理由見解析.

【解析】

1)利用已知得出∠CAE=ABD,進而根據AAS證明△ABD與△CAE全等,然后進一步求解即可;

2)根據,得出∠CAE=ABD,在△ADB與△CEA中,根據AAS證明二者全等從而得出AE=BDAD=CE,然后進一步證明即可;

3)結合之前的結論可得△ADB與△CEA全等,從而得出BD=AE,∠DBA=CAE,再根據等邊三角形性質得出∠ABF=CAF=60°,然后進一步證明△DBF與△EAF全等,在此基礎上進一步證明求解即可.

1)∵直線,直線

∴∠BDA=AEC=90°,

∴∠BAD+ABD=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+CAE=90°,

∴∠CAE=ABD,

在△ABD與△CAE中,

∵∠ABD=CAE,∠BDA=AEC,AB=AC

∴△ABD≌△CAE(AAS),

BD=AE,AD=CE,

DE=AD+AE

DE=CE+BD,

故答案為:DE=CE+BD;

2)(1)中結論還仍然成立,理由如下:

,

∴∠DBA+BAD=BAD+CAE=180°α,

∴∠CAE=ABD

在△ADB與△CEA中,

∵∠ABD=CAE,∠ADB=CEA,AB=AC,

∴△ADB≌△CEA(AAS),

AE=BDAD=CE,

BD+CE=AE+AD=DE,

即:DE=CE+BD

3為等邊三角形,理由如下:

由(2)可知:△ADB≌△CEA,

BD=EA,∠DBA=CAE,

∵△ABF與△ACF均為等邊三角形,

∴∠ABF=CAF=60°,BF=AF,

∴∠DBA+ABF=CAE+CAF,

∴∠DBF=FAE,

在△DBF與△EAF中,

FB=FA,∠FDB=FAE,BD=AE

∴△DBF≌△EAF(SAS),

DF=EF,∠BFD=AFE

∴∠DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°,

∴△DEF為等邊三角形.

練習冊系列答案
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