Question

【題目】如圖所示，在邊長為4正方形OABC中，OB為對角線，過點O作OB的垂線．以點O為圓心，r為半徑作圓，過點C做⊙O的兩條切線分別交OB垂線、BO延長線于點D、E，CD、CE分別切⊙O于點P、Q，連接AE．

（1）請先在一個等腰直角三角形內探究tan22.5°的值；

（2）求證：

①DO＝OE；

②AE＝CD，且AE⊥CD．

（3）當OA＝OD時：

①求∠AEC的度數(shù)；

②求r的值．

Answer 1

【答案】（1）tan22.5°＝﹣1；（2）①見解析；②見解析；（3）①∠AEC的度數(shù)為45°；②r=2

【解析】

（1）如圖1，△GMN是等腰直角三角形，過點N作NF平分∠MNG，交GM于點F，過點F作FH⊥NG于H．根據(jù)角平分線的性質可得FM＝FH，利用三角函數(shù)可得GF＝FH，從而有GF＝FM，進而可得MN＝（+1）FM，在Rt△FMN中運用三角函數(shù)就可求出tan22.5°的值．

（2）如圖2，①易證∠DOC＝∠EOC＝135°，根據(jù)切線長定理可得∠PCO＝∠QCO，從而可證到△DOC≌△EOC，則有OD＝OE．②易證△AOE≌△COD，從而有AE＝CD，∠AEO＝∠CDO．由∠KDO+∠DKO＝90°可得∠AEO+∠DKO＝90°，即可證到AE⊥CD．

（3）連接OQ，如圖3．由OC＝OE得∠OEC＝∠OCE，從而求出∠OEC＝22.5°．在Rt△OQE中，運用三角函數(shù)可得到然后運用勾股定理就可求出r的值．

解：（1）如圖1，△GMN是等腰直角三角形．

則有∠M＝90°即GM⊥MN，MG＝MN，∠MGN＝∠MNG＝45°．

過點N作NF平分∠MNG，交GM于點F，過點F作FH⊥NG于H．

∵NF平分∠MNG，FH⊥NG，FM⊥MN，

∴

∵FH⊥NG即∠FHG＝90°，∠G＝45°，

∴

∴GF＝FH．

∴GF＝FM．

∴MN＝MG＝MF+FG＝MF+FM＝（+1）FM．

在Rt△FMN中，

tan∠FNM＝tan22.5°

∴tan22.5°＝﹣1．

（2）①如圖2，

∵四邊形OABC是正方形，

∴OA＝OC，∠AOB＝∠BOC＝45°．

∴∠EOC＝180°﹣∠BOC＝135°．

∵OD⊥OB即∠DOB＝90°，

∴∠DOC＝∠DOB+∠BOC＝135°．

∴∠DOC＝∠EOC．

∵CD、CE分別與⊙O相切于P、Q，

∴∠PCO＝∠QCO．

在△DOC和△EOC中，

∴△DOC≌△EOC（ASA）．

∴OD＝OE．

②∵∠AOB＝45°，

∴∠AOE＝135°．

∴∠AOE＝∠DOC．

在△AOE和△COD中，

∴△AOE≌△COD（SAS）．

∴AE＝CD，∠AEO＝∠CDO．

∵∠DOB＝90°，∴∠KDO+∠DKO＝90°．

∴∠AEO+∠DKO＝90°．

∴∠KRE＝90°．

∴AE⊥CD．

（3）①∵OA＝OD，OA＝OC，OD＝OE，

∴OA＝OD＝OE＝OC．

∴點A、D、E、C在以點O為圓心，OA為半徑的圓上．

∴根據(jù)圓周角定理可得∠AEC＝∠AOC＝45°．

∴∠AEC的度數(shù)為45°．

②連接OQ，如圖3．

∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠OCE．

∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OEC＝45°，

∴∠OEC＝22.5°

∵CE與⊙O相切于點Q，

∴OQ⊥EC，即∠OQE＝90°．

在Rt△OQE中，

∵∠OQE＝90°，

∴tan∠OEQ＝tan22.5°

∵OQ＝r，

∴

∵∠OQE＝90°，

∴OQ2+QE2＝OE2．

∵

∴

整理得

解得：r＝．

∴r的值為．