Question

【題目】已知拋物線過(guò)點(diǎn)（3，1），D為拋物線的頂點(diǎn)．直線l：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A．

（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）如圖，直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)．

①求證：∠PDQ=90°；

②求△PDQ面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；A（1,4）（2）①證明見(jiàn)解析；②當(dāng)時(shí)，取得最小值16．

【解析】

（1）將點(diǎn)代入解析式求得的值即可；直線l：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A．

即此時(shí)取值與K無(wú)關(guān)，即=中K系數(shù)為0，即可求出點(diǎn)A坐標(biāo)。

（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)為，，聯(lián)立直線和拋物線解析式，化為關(guān)于的方程可得，據(jù)此知，由、、、知，即，從而得，據(jù)此進(jìn)一步求解可得；

②過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，則，根據(jù)列出關(guān)于的等式求解可得．

解：（1）將點(diǎn)代入解析式，得：，

解得：，

所以拋物線解析式為；

∵直線l：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A．

∴=中當(dāng)x=1時(shí)，y=4，

∴定點(diǎn)A為（1,4）.

（2）①證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)為，，（其中，，，

由，得：，

，

，

如圖2，分別過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線，垂足分別為、，

則，，

、，

，

，

又，

，

，

而，

，即；

②過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以，

，

當(dāng)時(shí)，取得最小值16．