Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（6，6），（6，0），拋物線y＝﹣（x﹣m）2+n的頂點(diǎn)P在折線OA﹣AB上運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，拋物線y＝﹣（x﹣m）2+n與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．

①用含m的代數(shù)式表示n，

②求c的取值范圍．

（2）當(dāng)拋物線y＝﹣（x﹣m）2+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）當(dāng)拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①n＝m；②c的取值范圍為﹣30≤c≤；（2）y＝﹣（x﹣6）2；（3）滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1）或（6，6）或（6，）

【解析】

（1）①設(shè)直線OA的解析式為y=kx，把點(diǎn)（6，6）代入可得k=1，推出y=x．因?yàn)?/span>y=-（x-m）2+n的頂點(diǎn)P在OA上，推出n=m．②由題意：y=-x2+2mx-m2+m，由拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），推出c=-m2+m，根據(jù)0≤m≤6，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）把B（6，0）代入拋物線的解析式即可解決問(wèn)題．
（3）分三種情形①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，
②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)P（6，6）．
③當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，拋物線與OA只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)．

解：（1）①設(shè)直線OA的解析式為y＝kx，∵經(jīng)過(guò)（6，6），

∴6k＝6，

∴k＝1，

∴y＝x．

∵y＝﹣（x﹣m）2+n的頂點(diǎn)P在OA上，

∴n＝m．

②由題意：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m，

∵拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），

∴c＝﹣m2+m，

∵點(diǎn)P在線段OA上，

∴0≤m≤6，﹣＝﹣＝，

∵0＜＜6，

∴當(dāng)m＝時(shí)，c＝﹣（）2+＝，

當(dāng)m＝6時(shí)，c＝﹣62+6＝﹣30，

∴c的取值范圍為﹣30≤c≤．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上時(shí)，

∵拋物線經(jīng)過(guò)B（6，0），

∴﹣（6﹣m）2+m＝0，

∴m＝4或9（舍棄），

∴y＝﹣（x﹣4）2+4，

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

∴m＝6，

∴y＝﹣（x﹣6）2．

（3）①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，

把（0，0）代入拋物線y＝﹣（x﹣m）2+m得到m＝1或0（舍棄），此時(shí)P（1，1）．

②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)P（6，6）．

③當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，拋物線與OA只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，拋物線與△ABO的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，

由消去y得到x2﹣11x+36﹣n＝0，

由題意△＝0，∴121﹣4（36﹣n）＝0，

∴n＝，

∴P（6，），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1）或（6，6）或（6，）