Question

【題目】平行四邊形ABCD的對角線相交于點M，△ABM的外接圓交AD于點E且圓心O恰好落在AD邊上，連接ME，若∠BCD＝45°

（1）求證：BC為⊙O切線；

（2）求∠ADB的度數(shù)；

（3）若ME＝1，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠ADB＝30°；（3）AC＝2AM＝4+2 ．

【解析】

（1）連接OB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠BAD＝∠BCD＝45°，根據(jù)圓周角定理得到∠BOD＝2∠BAD＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OB⊥BC，即可得到結(jié)論；

（2）連接OM，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BM＝DM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OM＝BM，求得∠OBM＝60°，于是得到∠ADB＝30°；

（3）連接EM，過M作MF⊥AE于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠MOF＝∠MDF＝30°，設(shè)OM＝OE＝r，解直角三角形即可得到結(jié)論．

（1）證明：連接OB，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BAD＝∠BCD＝45°，

∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠DOB+∠OBC＝180°，

∴∠OBC＝90°，

∴OB⊥BC，

∴BC為⊙O切線；

（2）解：連接OM，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BM＝DM，

∵∠BOD＝90°，

∴OM＝BM，

∵OB＝OM，

∴OB＝OM＝BM，

∴∠OBM＝60°，

∴∠ADB＝30°；

（3）解：連接EM，過M作MF⊥AE于F，

∵OM＝DM，

∴∠MOF＝∠MDF＝30°，

設(shè)OM＝OE＝r，

解得：r＝，

∴AE＝2r＝2，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠AME＝90°，

∴AM＝＝2+，

∴AC＝2AM＝4+2．