Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，過點C作CD⊥AB于點D，點E是AB邊上一動點(不含端點A，B)，連接CE，過點B作CE的垂線交直線CE于點F，交直線CD于點G．

(1)求證：AE＝CG；

(2)若點E運動到線段BD上時(如圖②)，試猜想AE，CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請證明你的結(jié)論；

(3)過點A作AH⊥CE，垂足為點H，并交CD的延長線于點M(如圖③)，找出圖中與BE相等的線段，直接寫出答案BE=

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）不變，AE＝CG，詳見解析；（3）CM

【解析】

（1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF＝∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；

（2）如圖②，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF＝∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；

（3）如圖③，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠BCE＝∠CAM，由ASA就可以得出△BCE≌△CAM，就可以得出結(jié)論．

(1)證明：∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB．

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE＋∠BCE＝90°．

∵BF⊥CE，

∴∠BFC＝90°，

∴∠CBF＋∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝∠CBF．

∵CD⊥AB，∠ABC＝∠A＝45°，

∴∠BCD＝∠ACD＝45°，

∴∠A＝∠BCD．

在△BCG和△CAE中，

∴△BCG≌△CAE(ASA)，

∴AE＝CG．

（2）解：不變，AE＝CG

理由如下：

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠A．

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE＋∠BCE＝90°．

∵BF⊥CE，

∴∠BFC＝90°，

∴∠CBF＋∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝∠CBF．

∵CD⊥AB，∠ABC＝∠A＝45°，

∴∠BCD＝∠ACD＝45°，

∴∠A＝∠BCD．

在△BCG和△CAE中，

∴△BCG≌△CAE(ASA)，

∴AE＝CG．

（3）BE＝CM，

理由如下：∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠CAB．

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE+∠BCE＝90°．

∵AH⊥CE，

∴∠AHC＝90°，

∴∠HAC+∠ACE＝90°，

∴∠BCE＝∠HAC．

∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC＝BC，

∴∠BCD＝∠ACD＝45°

∴∠ACD＝∠ABC．

在△BCE和△CAM中

，

∴△BCE≌△CAM（ASA），

∴BE＝CM，

故答案為：CM．