【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,延長AB到點C,使得2BC=3OB,D是⊙O上一點,連接AD,CD,過點A作CD的垂線,交CD的延長線于點F,過點D作DE⊥AC于點E,且DE=DF.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AB=4.
①求DF的長;
②連接OF,交AD于點M,求DM的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)①DF的長為;②DM的長為.
【解析】試題分析:(1)連接OD,根據 DF⊥AF,DE⊥AC,DF=DE,可得∠DAE=∠DAF,由OA=OD,得∠OAD=∠DOA,再根據∠DAF+∠ADF=90°,從而得∠ODA+∠ADF=90°,從而問題得證;
(2)①由已知可得半徑OA=OB=2,再根據2BC=3OB,求得BC=3,再利用三角形的面積即可得DE的長;
②由OD∥AF,得,再根據OC=5,CA=7,AD=AM+DM,從而可得,在Rt△ODE中,求出OE長,在Rt△ADE中,求出AD長,從而可得DM長.
試題解析:(1)如圖,連接OD.
∵DF⊥AF,DE⊥AC,DF=DE,
∴∠DAE=∠DAF,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠DOA,
∵∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠ODA+∠ADF=90°,
∴∠ODF=90°,
∴OD⊥CF,
∴CD是⊙O的切線.
(2)①∵AB=4,
∴OA=OB=2,
∵2BC=3OB,
∴BC=3,
在Rt△OCD中,CD=,
∵OCDE=ODCD,
∴DE=;
②∵OD∥AF,
∴, ,
∵OC=5,AC=7,
∴,∴,
在Rt△ODE中,OE==,
在Rt△ADE中,AD=,
∴DM=.
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【題目】為了了解同學們每月零花錢的數額,校園小記者隨機調查了本校部分同學,根據調查結果,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖表:
調查結果統(tǒng)計表
調查結果頻數分布直方圖 調查結果扇形統(tǒng)計圖
請根據以上圖表,解答下列問題:
(1)填空:這次調查的樣本容量是 , , ;
(2)補全頻數分布直方圖;
(3)求扇形統(tǒng)計圖中扇形的圓心角度數;
(4)該校共有人,請估計每月零花錢的數額在范圍的人數.
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【題目】如圖,點O是直線AB上的一點,∠COD是直角,OE平分∠BOC.
(1)如圖(1),若∠AOC=,求∠DOE的度數;
(2)如圖(2),將∠COD繞頂點O旋轉,且保持射線OC在直線AB上方,在整個旋轉過程中,當∠AOC的度數是多少時,∠COE=2∠DOB.
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【題目】國慶節(jié)放假時,小華一家三口一起乘小轎車去鄉(xiāng)下探望爺爺、奶奶和外公、外婆.早上從家里出發(fā),向東走了4千米到超市買東西,然后又向東走了3千米到爺爺家,中午從爺爺家出發(fā)向西走了12千米到外公家,晚上返回家里.
(1)若以家為原點,向東為正方向,用1個單位長度表示1千米,請將超市、爺爺家和外公家的位置在下面數軸上分別用點A、B、C表示出來;
(2)問超市A和外公家C相距多少千米?
(3)若小轎車每千米耗油0.09升,求小明一家從出發(fā)到返回家所經歷路程小車的耗油量.(精確到0.1升)
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【題目】小明有5張寫著不同數字的卡片,請按要求抽出卡片,完成下列各問題:
(1)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數字的乘積最大,如何抽。孔畲笾凳嵌嗌?答:我抽取的2張卡片是________、________,乘積的最大值為________.
(2)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數字相除的商最小,如何抽?最小值是多少?答:我抽取的2張卡片是________、________,商的最小值為________.
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【題目】國慶放假時,小明一家三口準備駕駛小轎車去鄉(xiāng)下探望爺爺、奶奶和外公、外婆.早上從家里出發(fā),先向東走了6千米到超市買東西,然后再向東走了1.5千米到爺爺家,中午從爺爺家出發(fā)向西走了12千米到外公家,晚上返回家里.
(1)若以家為原點,向東為正方向,用1個單位長度表示1千米,請將超市、爺爺家和外公家的位置在下面數軸上分別用點A、B、C表示出來;
(2)若小轎車每千米耗油0.08升,求小明一家從出發(fā)到返回家所經歷路程小車的耗油量.
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【題目】如圖,直線y=﹣x+1與x軸,y軸分別交于B,A兩點,動點P在線段AB上移動,以P為頂點作∠OPQ=45°交x軸于點Q.
(1)求點A和點B的坐標;
(2)比較∠AOP與∠BPQ的大小,說明理由.
(3)是否存在點P,使得△OPQ是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,某小區(qū)有一塊長為30m,寬為24m的矩形空地,計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為480m2,兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道,則人行通道的寬度為__m.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+3經過點 B(﹣1,0),C(2,3),拋物線與y軸的焦點A,與x軸的另一個焦點為D,點M為線段AD上的一動點,設點M的橫坐標為t.
(1)求拋物線的表達式;
(2)過點M作y軸的平行線,交拋物線于點P,設線段PM的長為1,當t為何值時,1的長最大,并求最大值;(先根據題目畫圖,再計算)
(3)在(2)的條件下,當t為何值時,△PAD的面積最大?并求最大值;
(4)在(2)的條件下,是否存在點P,使△PAD為直角三角形?若存在,直接寫出t的值;若不存在,說明理由.
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