【題目】定義:對于給定的兩個函數(shù),任取自變量x的一個值,當(dāng)x<0時,它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù);當(dāng)x≥0時,它們對應(yīng)的函數(shù)值相等,我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例如:一次函數(shù)y=x﹣1,它的相關(guān)函數(shù)為y=
(1)已知點(diǎn)A(﹣5,8)在一次函數(shù)y=ax﹣3的相關(guān)函數(shù)的圖象上,求a的值;
(2)已知二次函數(shù)y=﹣x2+4x﹣ .①當(dāng)點(diǎn)B(m, )在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時,求m的值;
②當(dāng)﹣3≤x≤3時,求函數(shù)y=﹣x2+4x﹣ 的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值;
(3)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(﹣ ,1),( ,1),連結(jié)MN.直接寫出線段MN與二
次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個公共點(diǎn)時n的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)y=ax﹣3的相關(guān)函數(shù)為y= ,將點(diǎn)A(﹣5,8)代入y=﹣ax+3得:5a+3=8,解得:a=1.
(2)解:二次函數(shù)y=﹣x2+4x﹣ 的相關(guān)函數(shù)為y=

①當(dāng)m<0時,將B(m, )代入y=x2﹣4x+ 得m2﹣4m+ = ,解得:m=2+ (舍去)或m=2﹣

當(dāng)m≥0時,將B(m, )代入y=﹣x2+4x﹣ 得:﹣m2+4m﹣ = ,解得:m=2+ 或m=2﹣

綜上所述:m=2﹣ 或m=2+ 或m=2﹣

②當(dāng)﹣3≤x<0時,y=x2﹣4x+ ,拋物線的對稱軸為x=2,此時y隨x的增大而減小,

∴此時y的最大值為

當(dāng)0≤x≤3時,函數(shù)y=﹣x2+4x﹣ ,拋物線的對稱軸為x=2,當(dāng)x=0有最小值,最小值為﹣ ,當(dāng)x=2時,有最大值,最大值y=

綜上所述,當(dāng)﹣3≤x≤3時,函數(shù)y=﹣x2+4x﹣ 的相關(guān)函數(shù)的最大值為 ,最小值為﹣ ;


(3)解:如圖1所示:線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有1個公共點(diǎn).

所以當(dāng)x=2時,y=1,即﹣4+8+n=1,解得n=﹣3.

如圖2所示:線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個公共點(diǎn)

∵拋物線y=x2﹣4x﹣n與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為1,

∴﹣n=1,解得:n=﹣1.

∴當(dāng)﹣3<n≤﹣1時,線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點(diǎn).

如圖3所示:線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個公共點(diǎn).

∵拋物線y=﹣x2+4x+n經(jīng)過點(diǎn)(0,1),

∴n=1.

如圖4所示:線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點(diǎn).

∵拋物線y=x2﹣4x﹣n經(jīng)過點(diǎn)M(﹣ ,1),

+2﹣n=1,解得:n=

∴1<n≤ 時,線段MN與二次函數(shù)y=﹣x2+4x+n的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個公共點(diǎn).

綜上所述,n的取值范圍是﹣3<n≤﹣1或1<n≤


【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖像上,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式;(2)對于點(diǎn)B(m, ),由于m不知正負(fù),因此需分類討論;(2)由于﹣3≤x≤3有正又有負(fù),因此需分段:3≤x<0和0≤x≤3,分別對應(yīng)著相關(guān)函數(shù)的兩段解析式,分別求最大值和最小值,最后比較兩段函數(shù)的最大值的較大著作為整個函數(shù)的最大值;(3)需數(shù)形結(jié)合,按照拋物線與y軸的交點(diǎn)由低到高,可推出﹣3<n≤﹣1或1<n≤ .
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=45°,AB=4cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以2cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B運(yùn)動.過點(diǎn)P作PQ⊥AB交折線ACB于點(diǎn)Q,D為PQ中點(diǎn),以DQ為邊向右側(cè)作正方形DEFQ.設(shè)正方形DEFQ與△ABC重疊部分圖形的面積是y(cm2),點(diǎn)P的運(yùn)動時間為x(s).

(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時,正方形DEFQ的邊長為cm(用含x的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合時,求點(diǎn)F落在邊BC上時x的值;
(3)當(dāng)0<x<2時,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(4)直接寫出邊BC的中點(diǎn)落在正方形DEFQ內(nèi)部時x的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)C在線段AB上,點(diǎn)M、N分別是ACBC的中點(diǎn).

1)若AC=8cm,CB=6cm,求線段MN的長;

2)若C為線段AB上任一點(diǎn),滿足AC+CB=a,其它條件不變,你能猜想MN的長度嗎?寫出你的結(jié)論并說明理由;

3)若點(diǎn)C在線段AB的延長線上,且滿足AC-BC=b,MN分別為AC、BC的中點(diǎn),你能猜想MN的長度嗎?請畫出圖形并寫出你的結(jié)論(不必說明理由).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn) Aa+b,2-a)與點(diǎn)Ba-5,b-2a)關(guān)于y軸對稱.

1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);

2)如果點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是C,在圖中標(biāo)出點(diǎn)A、B、C,并求△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)Ax軸上,△AOC是邊長為2的等邊三角形.

(1)寫出△AOC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo):_____

(2)將△AOC沿x軸向右平移得到△OBD,則平移的距離是_____

(3)將△AOC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到△OBD,則旋轉(zhuǎn)角可以是_____

(4)連接AD,交OC于點(diǎn)E,求∠AEO的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司有A、B兩種客車,它們的載客量和租金如下表,星星中學(xué)根據(jù)實(shí)際情況,計(jì)劃用A、B型車共5輛,同時送七年級師生到;貐⒓由鐣䦟(shí)踐活動.

A

B

載客量(人/輛)

40

20

租金(元/輛)

200

150

1)若要保證租金費(fèi)用不超過980元,請問該學(xué)校有哪幾種租車方案?

2)在(1)的條件下,若七年級師生共有150人,問哪種租車方案最省錢?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】(1)填空:

(ab)(ab)________;

(ab)(a2abb2)________;

(ab)(a3a2bab2b3)________

(2)猜想:

(ab)(an1an2ban3b2abn2bn1)________(其中n為正整數(shù),且n2);

(3)利用(2)猜想的結(jié)論計(jì)算:

2928272221;

210292823222.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知ABC中∠BAC=135°,點(diǎn)E,點(diǎn)FBC上,EM垂直平分ABAB于點(diǎn)M,FN垂直平分ACAC于點(diǎn)N,BE=12CF=9

1)判斷EAF的形狀,并說明理由;

2)求EAF的周長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知AOB=60°,AOB的邊OA上有一動點(diǎn)P,從距離O點(diǎn)18cm的點(diǎn)M處出發(fā),沿線段MO、射線OB運(yùn)動,速度為2cm/s;動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),沿射線OB運(yùn)動,速度為lcm/sP、Q同時出發(fā),同時射線OC繞著點(diǎn)OOA上以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn),設(shè)運(yùn)動時間是ts).

1)當(dāng)點(diǎn)PMO上運(yùn)動時,PO=______cm(用含t的代數(shù)式表示);

2)當(dāng)點(diǎn)P在線段MO上運(yùn)動時,t為何值時,OP=OQ?此時射線OCAOB的角平分線嗎?如果是請說明理由.

3)在射線OB上是否存在P、Q相距2cm?若存在,請求出t的值并求出此時BOC的度數(shù);若不存在,請說明理由.

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