Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B運(yùn)動．過點(diǎn)P作PQ⊥AB交折線ACB于點(diǎn)Q，D為PQ中點(diǎn)，以DQ為邊向右側(cè)作正方形DEFQ．設(shè)正方形DEFQ與△ABC重疊部分圖形的面積是y（cm2），點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為x（s）．

（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，正方形DEFQ的邊長為cm（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)F落在邊BC上時(shí)x的值；
（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（4）直接寫出邊BC的中點(diǎn)落在正方形DEFQ內(nèi)部時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）x
（2）解：如圖①，延長FE交AB于G，由題意得AP=2x，

∵D為PQ中點(diǎn)，

∴DQ=x，

∴GP=x，

∴2x+x+2x=4，

∴x= ；

（3）解：如圖②，當(dāng)0＜x≤ 時(shí)，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，

∴y=x2；

如圖③，當(dāng) ＜x≤1時(shí)，過C作CH⊥AB于H，交FQ于K，則CH= AB=2，

∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，

∴MQ=2CK=4﹣4x，F(xiàn)M=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，

∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣ FM2，

∴y=x2﹣ （5x﹣4）2=﹣ x2+20x﹣8，

∴y=﹣ x2+20x﹣8；

如圖④，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，PQ=4﹣2x，

∴DQ=2﹣x，

∴y=S△DEQ= DQ2，

∴y= （2﹣x）2，

∴y= x2﹣2x+2；

（4）解：當(dāng)Q與C重合時(shí)，E為BC的中點(diǎn)，

即2x=2，

∴x=1，

當(dāng)Q為BC的中點(diǎn)時(shí)，BQ= ，

PB=1，

∴AP=3，

∴2x=3，

∴x= ，

∴邊BC的中點(diǎn)落在正方形DEFQ內(nèi)部時(shí)x的取值范圍為：1＜x＜ ．

【解析】（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，

∴∠AQP=45°，

∴PQ=AP=2x，

∵D為PQ中點(diǎn)，

∴DQ=x，

所以答案是：x；

（2）結(jié)合題意，畫出示意圖，F(xiàn)G=BG=2x,PQ=AP=2x,由AB=x+2x+2x構(gòu)建方程，求出x；（3）由第（2）題為基礎(chǔ)，x=是分界點(diǎn)，分段討論時(shí)就分為0＜x≤ ， ＜x≤1，1＜x＜2；（4）先假設(shè)中點(diǎn)落在正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)為極限點(diǎn)，分別求出極限點(diǎn)時(shí)對應(yīng)的x值，即可求出范圍.

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)關(guān)系式和函數(shù)自變量的取值范圍的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式；使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍才能正確解答此題．