592. 直線上有兩點到平面α的距離相等,這條直線和平面α的位置如何?
解析:(1)若直線上的兩點到平面α的距離都等于0,這時直線在平面α內(nèi)(如圖)
(2)若直線上的兩點在平面α的兩側(cè),且到平面α的距離相等,這時直線與平面α相交(如圖).
(3)若直線l上的兩點在平面α的同一側(cè),且到平面α的距離相等(如圖).
∵AA1⊥α于點A1,BB1⊥α于點B1.又 A、B均在l上,且在α的同側(cè).∴AA1 BB1
∴AA1BB1為一平行四邊形.∴AB∥A1B1 ∴這時直線l與平面α平行.
想一想:若直線l上各點到平面α的距離都相等,那么直線l和平面α的位置關系又怎樣?
591. 兩個惟一性定理.
(1)過一點有且只有一條直線和一已知平面垂直
(2)過一點有且只有一個平面和一已知直線垂直
過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A,且垂直于直線a的平面內(nèi),試證之.
已知:A∈α,a⊥α于點O,AB⊥a.求證:
證明:假AB不在平面α內(nèi),連結(jié)AO.
∵a⊥α∴a⊥AO.又a⊥AB,且AO∩AB=A.
∴a垂直于相交直AO、AB所確定的平面β.
說明: 關于直線和平面垂直的問題中,有兩個基本作圖:
(1)過一點有且只有一條直線和一個平面垂直.(2)過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.
這兩個基本作圖可作為公理直接使用.
590. 空間四邊形ABCD中,P、Q、R分別AB、AD、CD 的中點,平面PQR交BC于S , 求證:四邊形PQRS為平行四邊形。
證明:∵PQ為AB、AD中點 ∴PQ‖BD
又PQ平面BCD ,BD平面BCD ∴ PQ‖平面BCD
又平面PQR∩平面BCD=RS , PQ平面RQR ∴ PQ‖RS
∵R為DC中點,∴ S為BC中點,∴PQ RS ∴ PQRS 為平行四邊形
評述:靈活運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理,“線線平行 線面平行”是證平行關系的常用方法。
變式題:如圖,在四面體ABCD中,截面EFGH是平行四邊形.求證:AB∥平面EFG.
證明 ∵面EFGH是截面.∴點E,F(xiàn),G,H分別在BC,BD,DA,AC上.∴EH 面ABC,GF 面ABD,由已知,EH∥GF.∴EH∥面ABD.又 ∵EH 面BAC,面ABC∩面ABD=AB∴EH∥AB.
∴AB∥面EFG.
589. 已知直線a∥b,c∩a=A,c∩b=B。求證:a、b、c在同一平面內(nèi)。
證明:∵a∥b
∴經(jīng)過a、b可確定一個平面α
∵c∩a=A,∴A∈a,而aα
∴A∈α,同理B∈α
則ABα,即c α
∴a、b、c在同一平面α內(nèi)
點評:利用a∥b,可確定平面α,易證c α。若利用c∩a=A,也可確定平面α,但證bα就較困難。因此,選擇恰當?shù)狞c或線確定平面是非常重要的。
588. 在四面體ABCD中,已知點M,N,P分別在棱AD,BD,CD上,點S在平面ABC內(nèi),畫出線段SD與過點M,N,P的截面的交點O。
解析:圖中,SD與平面MNP的交點O點畫在△MNP內(nèi)的任何位置好象都“象”,即直觀上不能直接看出畫在何處才是準確的。采用上一題的思想方法,找出經(jīng)過直線SD的平面,如平面ASD(平面CSD…),作出它與平面MNP的交線。
解:連接AS交BC于E,連ED交NP于F,連MF。
∵M∈AD,AD平面AED,
∴M∈平面AED
∵F∈ED,ED平面AED,
∴F∈平面AED
又M∈平面MNP,F(xiàn)∈平面MNP,
∴平面AED∩平面MNP=MF
∵O∈SD,SD平面AED,
∴O∈平面AED,又O∈平面MNP
則O∈MF
即O為MF與SD的交點。
587. 四面體ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC,則∠BAC+∠CAD+∠DAB= 。
解析:180°
四個三角形均是全等的三角形,故所求三個角即其中任一三角形的三個內(nèi)角
586. 正方體的12條面對角線所在的直線中,互相異面的直線共有 對。
解析:30
面對角線中,與AC相交的有5條,平行的有1條,(自身為1條)故與AC異面的直線有12-5-1-1=5(條)。
則共有12×5×=30(對
585. 空間兩個角α和β,若α和β的兩邊對應平行,當α=50°時,β= 。
解析:50°或130°
β與α相等或互補
584. 下面的三個命題:①四邊相等的四邊形是菱形;②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;③若四邊形有一組對角都是直角,則這個四邊形是圓的內(nèi)接四邊形。
其中正確命題的個數(shù)是:( )
A、1個 B、2個 C、3個 D、0個
解析:D
均不能保證它們是平面圖形,故均不正確,選D
583. 如圖,α∩β=C,aα,a∩c=A,bβ,b∩c=B,A、B為不同點。則a與b的位置關系為( )
A、平行
B、異面
C、平行、異面均可能
D、平行、相交、異面均可能
解析:B
符合兩條異面直線的判定,選B
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