363. 湖結(jié)冰時,一個球漂在其上,取出后(未弄破冰),冰面上留下了一個直徑為24cm,深為8cm的空穴,求該球的半徑.
解析:設(shè)球的半徑為R,依題意知截面圓的半徑r=12,球心與截面的距離為d=R-8,由截面性質(zhì)得:r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2.
得R=13 ∴該球半徑為13cm.
362. 若四面體各棱長是1或2,且該四面體不是正四面體,則其體積的值是 .(只須寫出一個可能的值)
解析: 該題的顯著特點是結(jié)論發(fā)散而不惟一.本題表面上是考查錐體求積公式這個知識點,實際上主要考查由所給條件構(gòu)造一個四面體的能力,首先得考慮每個面的三條棱是如何構(gòu)成的.
排除{1,1,2},可得{1,1,1},{1,2,2},{2,2,2},然后由這三類面在空間構(gòu)造滿足條件的一個四面體,再求其體積.
由平時所見的題目,至少可構(gòu)造出二類滿足條件的四面體,五條邊為2,另一邊為1,對棱相等的四面體.
對于五條邊為2,另一邊為1的四面體,參看圖1所示,設(shè)AD=1,取AD的中點為M,平面BCM把三棱錐分成兩個三棱錐,由對稱性可知AD⊥面BCM,且VA-BCM=VD-BCM,所以
VABCD=SΔBCM·AD.
CM===.設(shè)N是BC的中點,則MN⊥BC,MN===,從而SΔBCM=×2×=,
故VABCD=××1=.
對于對棱相等的四面體,可參見圖2.其體積的計算可先將其置于一個長方體之中,再用長方體的體積減去四個小三棱錐的體積來進(jìn)行.亦可套公式V=·,
不妨令a=b=2,c=1,則
V=·
=·=.
361. 有一個三棱錐和一個四棱錐,棱長都相等,將它們一個側(cè)面重疊后,還有幾個暴露面?
解析:有5個暴露面.
如圖所示,過V作VS′∥AB,則四邊形S′ABV為平行四邊形,有∠S′VA=∠VAB=60°,從而ΔS′VA為等邊三角形,同理ΔS′VD也是等邊三角形,從而ΔS′AD也是等邊三角形,得到以ΔVAD為底,以S′與S重合.
這表明ΔVAB與ΔVSA共面,ΔVCD與ΔVSD共面,故共有5個暴露面.
99. 已知:如圖,平面a ∩平面b =直線l,A∈a ,AB⊥b ,B∈b ,BC⊥a ,C∈a,求證:AC⊥l.
證明:∵ AB⊥b ,lb
∴ l⊥AB
∵ BC⊥a ,la
∴ l⊥BC
∵ AB∩BC=B
∴ l⊥平面ABC
∵ AC平面ABC
∴ l⊥AC
100. 已知:如圖,P 試題詳情
98. 已知ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,M、N分別是SC、AB的中點.
求證:MN⊥AB.
解析:連結(jié)MB、MA,證明MB=MA.
97. 已知:如圖,AS⊥平面SBC,SO⊥平面ABC于O,
求證:AO⊥BC.
解析:連結(jié)AO,證明BC⊥平面ASO.
96. 已知PA,PB,PC與平面α所成的角分別為60°,45°,30°,PO⊥平面α,O為垂足,又斜足A,B,C三點在同一直線上,且AB=BC=10cm,求PO的長.
解析:
95. 已知:ABCD是矩形,SA⊥平面ABCD,E是SC上一點.
求證:BE不可能垂直于平面SCD.
解析:用到反證法,假設(shè)BE⊥平面SCD,
∵ AB∥CD;∴AB⊥BE.
∴ AB⊥SB,這與Rt△SAB中∠SBA為銳角矛盾.
∴ BE不可能垂直于平面SCD.
94. 已知E,F(xiàn)分別是正方形ABCD邊AD,AB的中點,EF交AC于M,GC垂直于ABCD所在平面.
(1)求證:EF⊥平面GMC.
(2)若AB=4,GC=2,求點B到平面EFG的距離.
解析:第1小題,證明直線與平面垂直,常用的方法是判定定理;第2小題,如果用定義來求點到平面的距離,因為體現(xiàn)距離的垂線段無法直觀地畫出,因此,常常將這樣的問題轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離問題.
解:
(1)連結(jié)BD交AC于O,
∵E,F(xiàn)是正方形ABCD邊AD,AB的中點,AC⊥BD,
∴EF⊥AC.
∵AC∩GC=C,
∴EF⊥平面GMC.
(2)可證BD∥平面EFG,由例題2,正方形中心O到平面EFG
93. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點N在BD上,點M在B1C上,并且CM=DN.
求證:MN∥平面AA1B1B.
解析:本題是把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”,即在平面ABB1A1內(nèi)找一條直線與MN平行,除上面的證法外,還可以連CN并延長交直線BA于點P,連B1P,就是所找直線,然后再設(shè)法證明MN∥B1P.
分析二:要證“線面平行”也可轉(zhuǎn)化為證“面面平行”,因此,本題也可設(shè)法過MN作一個平面,使此平面與平面ABB1A1平行,從而證得MN∥平面ABB1A1.
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