82. 兩個平面同時垂直于一條直線,則兩個平面平行.
已知:a、b是兩個平面,直線l⊥a,l⊥b,垂足分別為A、B.
求證:a∥b思路1:根據(jù)判定定理證.
證法1:過l作平面g ,
a∩g=AC,b∩g=BD,
過l作平面d,
a∩d=AE,b∩d=BF,
l⊥al⊥AC
l⊥bl⊥BD AC∥BDAC∥b,
l、AC、BD共面
同理AE∥b,AC∩AE≠f ,AC,AEa ,故a∥b.
思路2:根據(jù)面面平行的定義,用反證法.
證法2:設a、b有公共點P
則l與P確定平面g,
且a∩g=AP,b∩g=BP.
l⊥al⊥AP
l⊥bl⊥BP
l、AP、BP共面,于是在同一平面內(nèi)過一點有兩條直線AP、BP都與l垂直,這是不可能的.
故a、b不能有公共點,∴ a∥b.
81. 有三個幾何事實(a,b表示直線,表示平面),① a∥b,② a∥,③ b∥.其中,a,b在面外.
用其中兩個事實作為條件,另一個事實作為結(jié)論,可以構(gòu)造幾個命題?請用文字語言敘述這些命題,并判斷真?zhèn)危_的給出證明,錯誤的舉出反例.
解析:Ⅰ: a∥b
a∥ b∥
b在外
Ⅱ:a∥b
b∥ a∥
a在外
Ⅰ、Ⅱ是同一個命題:兩條平行直線都在一個平面外,若其中一條與平面平行,則另一條也與該平面平行.
證明:過a作平面與交于
∵ a∥
∵ a∥
而a∥b
∴ b∥且b在外,在內(nèi)
∴ b∥.
Ⅲ:a∥
a∥b
b∥
命題:平行于同一個平面的兩條直線平行,
這是錯的,如右圖
80. 已知:平面與平面相交于直線a,直線b與、都平行,求證:b∥a.
證明:在a上取點P,b和P確定平面設與交于,與交于
∵ b∥且b∥
∴ b∥且b∥
∴ 與重合,而, ,實際上是、、a三線重合,
∴ a∥b.
79. 如圖,已知a、b是兩條相互垂直的異面直線,其公垂線段AB的長為定值m,定長為n(n>m)的線段PQ的兩個端點分別在a、b上移動,M、N分別是AB、PQ的中點。
(1)求證:AB⊥MN;
(2)求證:MN的長是定值(14分)
解析:
78. 在正方體ABCD-A1B1C1D1,G為CC1的中點,O為底面ABCD的中心。
求證:A1O⊥平面GBD(14分)
解析:
77. .如圖,ABCD為正方形,過A作線段SA⊥面ABCD,又過A作與SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H,求證:E、H分別是點A在直線SB和SD上的射影。(12分)
解析:
76. 如圖,已知
求證a∥l
解析:
75. 設P、Q是單位正方體AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。
如圖:(1)證明:PQ∥平面AA1B1B;
(2)求線段PQ的長。(12分)
評注:本題提供了兩種解法,方法一,通過平行四邊形的對邊平行得到“線線平行”,從而證得“線面平行”;方法二,通過三角形的中位線與底邊平行得到“線線平行”,從而證得“線面平行”。本題證法較多。
74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分別是AB、PC的中點.
(1)求證:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求證MN⊥面PCD.(12分)
解析:
71. 球面上有三個點A、B、C. A和B,A和C間的球面距離等于大圓周長的. B和C間的球面距離等于大圓周長的.如果球的半徑是R,那么球心到截面ABC的距離等于 解析:本題考查球面距離的概念及空間想像能力.
如圖所示,圓O是球的大圓,且大圓所在平面與面ABC垂直,其中弦EF是過A、B、C的小圓的直徑,弦心距OD就是球心O到截面ABC的距離,OE是球的半徑,因此,欲求OD,需先求出截面圓ABC的半徑.
下一個圖是過A、B、C的小圓.AB、AC、CB是每兩點之間的直線段.它們的長度要分別在△AOB、△AOC、△COB中求得(O是球心).由于A、B間球面距離是大圓周長的,所以∠AOB=×2π=,同理∠AOC=,∠BOC=.
∴|AB|=R, |AC|=R, |BC|=. 在△ABC中,由于AB2+AC2=BC2. ∴∠BAC=90°,BC是小圓ABC的直徑. ∴|ED|= 從而|OD|=. 故應選B. 72. 如圖,四棱錐P-ABCD中,ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,該圖中,互相垂直的面有 A.4對 B.5對 C.6對 D.7對 答案(D) 解析:要找到一個好的工作方法,使得計數(shù)時不至于產(chǎn)生遺漏 73. ABCD是各條棱長都相等的三棱錐.M是△ABC的垂心,那么AB和DM所成的角等于______
解析:90°連CM交AB于N,連DN,易知N是AB中點,AB⊥CN,AB⊥DN.
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