在設(shè)計(jì)算法的過程中，解決問題的基本思想常常很簡(jiǎn)單、很清楚，但表述參與運(yùn)算的數(shù)值的頻頻變換卻很麻煩。為了解決這個(gè)問題，需要在程序中引入變量。前面通過對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，我們就已經(jīng)了解變量的含義：在研究問題的過程中可以取代不同數(shù)值的量稱為變量。

程序中一些重要的函數(shù)也很有用處，如取平方根函數(shù)SQR(x)=|x|，取絕對(duì)值函數(shù)ABS(x)=。

變量與函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)里面最重要的和最基本的概念，在算法的設(shè)計(jì)里面仍然發(fā)揮著重要的和最基本的作用，它們會(huì)使得算法的表達(dá)變得非常整潔、清楚。

1．賦值語(yǔ)句在程序運(yùn)行時(shí)給變量賦值；“=”的右側(cè)必須是表達(dá)式，左側(cè)必須是變量；一個(gè)語(yǔ)句只能給一個(gè)變量賦值；有計(jì)算功能；將一個(gè)變量的值賦給另一個(gè)變量時(shí)，前一個(gè)變量的值保持不變；可先后給一個(gè)變量賦多個(gè)不同的值，但變量的取值只與最后一次賦值有關(guān)。

2．累加變量是最終的輸出結(jié)果。每進(jìn)入一次循環(huán)體隨著計(jì)數(shù)變量改變而改變。累加變量的初始值通常為0。

1．計(jì)數(shù)變量的作用一般是統(tǒng)計(jì)循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)，改變循環(huán)條件的取值，為結(jié)束循環(huán)作準(zhǔn)備。譬如：計(jì)算等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，n就是計(jì)數(shù)變量的臨界值，在當(dāng)型結(jié)構(gòu)中“小于等于n”維持循環(huán)，而在直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)中“大于n”跳出循環(huán)。

2．條件語(yǔ)句的嵌套可多于兩層，可以表達(dá)算法步驟中的多重限制條件。

題型4：循環(huán)語(yǔ)句

例7．設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1×3×5×7×…×99的算法，編寫算法程序。

解析：

算法如下：

第一步：s＝1；

第二步：i＝3；

第三步：s＝s×i；

第四步：i＝i+2；

第五步：如果i≤99，那么轉(zhuǎn)到第三步；

第六步：輸出s；

程序如下：(“WHILE型”循環(huán)語(yǔ)句)

s＝1

i＝3

WHILE　 i＜＝99

s＝s*i

i＝i+2

WEND

PRINT　 s

END

點(diǎn)評(píng)：你能用“UNTIL”型循環(huán)語(yǔ)句表示“典例1”中的程序嗎？

例8．編寫一個(gè)程序，求1!+2!+…+10!的值。

解析：這個(gè)問題是求前10個(gè)正整數(shù)的階乘之和，可以用“WHILE+ WHILE”循環(huán)嵌套語(yǔ)句格式來(lái)實(shí)現(xiàn)。

程序結(jié)構(gòu)要做到如下步驟：

①處理“N!”的值；(注：處理N!值的變量就是一個(gè)內(nèi)循環(huán)變量)

②累加“N!”的值。(注：累加N!值的變量就是一個(gè)外循環(huán)變量)

顯然，通過10次循環(huán)可分別求出1!、2!、…、10!的值，并同時(shí)累加起來(lái), 可求得S的值。而求T=N!，又可以用一個(gè)循環(huán)(內(nèi)循環(huán))來(lái)實(shí)現(xiàn)。

程序?yàn)?

s=0

i=1

WHILE i<=10

j=1

t=1

WHILE j<=i

t=t*j

j=j+1

WEND

s=s+t

i=i+1

WEND

PRINT s

END

上面程序中哪個(gè)變量是內(nèi)循環(huán)變量，哪個(gè)變量是外循環(huán)變量？

(1)內(nèi)循環(huán)變量：j，t

(2)外循環(huán)變量：s，i

“典例2”程序是一個(gè)的“WHILE+WHILE”型循環(huán)嵌套語(yǔ)句格式。這是一個(gè)比較好想的方法，但實(shí)際上對(duì)于求n!，我們也可以根據(jù)求出的(n－1)!乘上n即可得到，而無(wú)需重新從1再累乘到n。

程序可改為：

s=0

i=1

j=1

WHILE i<=10

j=j*i

s=s+j

i=i+1

WEND

PRINT s

END

顯然第二個(gè)程序的效率要比第一個(gè)高得多。第一程序要進(jìn)行1+2+…+10=55次循環(huán)，而第二程序進(jìn)行10次循環(huán)。如題目中求的是1！+2！+…+1000！，則兩個(gè)程序的效率區(qū)別更明顯。

點(diǎn)評(píng)：解決具體的構(gòu)造循環(huán)語(yǔ)句的算法問題，要盡可能的少引入循環(huán)變量，否則較多的變量會(huì)使得設(shè)計(jì)程序比較麻煩，并且較多的變量會(huì)使得計(jì)算機(jī)占用大量的系統(tǒng)資源，致使系統(tǒng)緩慢。另外，也盡可能使得循環(huán)嵌套的層數(shù)少，否則也浪費(fèi)計(jì)算機(jī)的系統(tǒng)資源。

題型5：實(shí)際應(yīng)用

例9．中國(guó)網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時(shí)，如果不超過3分鐘，則收取話費(fèi)0.22元；如果通話時(shí)間超過3分鐘，則超出部分按每分鐘0.1元收取通話費(fèi)，不足一分鐘按以一分鐘計(jì)算。設(shè)通話時(shí)間為t(分鐘)，通話費(fèi)用y(元)，如何設(shè)計(jì)一個(gè)程序，計(jì)算通話的費(fèi)用。

解析：

算法分析：

數(shù)學(xué)模型實(shí)際上為：y關(guān)于t的分段函數(shù)。

關(guān)系是如下：

其中[t－3]表示取不大于t－3的整數(shù)部分。

算法步驟如下：

第一步：輸入通話時(shí)間t；

第二步：如果t≤3，那么y = 0.22；否則判斷t∈Z 是否成立，若成立執(zhí)行y= 0.2+0.1× (t－3)；否則執(zhí)行y = 0.2+0.1×( [t－3]+1)。

第三步：輸出通話費(fèi)用c 。

算法程序如下：

INPUT “請(qǐng)輸入通話時(shí)間：”；t

IF　 t<=3　 THEN

y=0.22

ELSE

IF　 INT(t)=t　 THEN

y=0.22+0.1*(t－3)

ELSE

y=0.22+0.1*(INT(t－3)+1)

END IF

END IF

PRINT “通話費(fèi)用為：”；y

END

點(diǎn)評(píng)：實(shí)際應(yīng)用問題，在高考中是一個(gè)熱點(diǎn)。如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵，最后還要用算法步驟和程序進(jìn)行表達(dá)。如：中國(guó)網(wǎng)通通話費(fèi)的規(guī)定在數(shù)學(xué)中就是通話時(shí)間到通話費(fèi)用的分段函數(shù)。日常生活中的分段函數(shù)問題還有很多：出租車的計(jì)費(fèi)問題、個(gè)人所得稅問題、銀行利率問題等等。

例10．編寫程序，計(jì)算數(shù)列{a_n}的前20項(xiàng)的和。(其中數(shù)列的前幾項(xiàng)分別為1，1，2，3，5，8，……)

解析：這是“Fibonacci數(shù)列”的典型特征，從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和，即。

程序如下：

a=1

b=1

s=0

i=3

WHILE　 i<=20

s=s+a+b

t=a

a=b

b=b+t

i=i+1

WEND

PRINT s

END

點(diǎn)評(píng)：

題型1：輸入、輸出和賦值語(yǔ)句

例1．判斷下列給出的輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句是否正確？為什么？

(1)輸入語(yǔ)句 INPUT　 a；b；c

(2)輸出語(yǔ)句 A＝4

(3)賦值語(yǔ)句 3＝B

(4)賦值語(yǔ)句　 A＝B＝－2

解析：(1)錯(cuò)，變量之間應(yīng)用“，”號(hào)隔開；

(2)錯(cuò)，PRINT語(yǔ)句不能用賦值號(hào)“=”；

(3)錯(cuò)，賦值語(yǔ)句中“=”號(hào)左右不能互換；

(4)錯(cuò)，一個(gè)賦值語(yǔ)句只能給一個(gè)變量賦值。

點(diǎn)評(píng)：輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句基本上對(duì)應(yīng)于算法中的順序結(jié)構(gòu)。輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句都不包括“控制轉(zhuǎn)移”，由它們組成的程序段必然是順序結(jié)構(gòu)。

例2．請(qǐng)寫出下面運(yùn)算輸出的結(jié)果。

(1)

(2)

(3)

解析：

(1)16；語(yǔ)句是將a，b和的一半賦值給變量c，語(yǔ)句是將c的平方賦值給d，最后輸出d的值。

(2)1，2，3；語(yǔ)句是將a，b的和賦值給c，語(yǔ)句是將的值賦值給了b。

(3)20，30，20；經(jīng)過語(yǔ)句后a，b，c的值是20，20，30。經(jīng)過語(yǔ)句后a，b，c的值是20，30，30。經(jīng)過語(yǔ)句后a，b，c的值是20，30，20。

點(diǎn)評(píng)：語(yǔ)句的識(shí)別問題是一個(gè)逆向性思維，一般我們認(rèn)為我們的學(xué)習(xí)是從算法步驟(自然語(yǔ)言)至程序框圖，再到算法語(yǔ)言(程序)。如果將程序擺在我們的面前時(shí)，我們要從識(shí)別逐個(gè)語(yǔ)句，整體把握，概括程序的功能。

題型2：賦值語(yǔ)句的應(yīng)用

例3．寫出求三個(gè)數(shù)a，b，c的方差的程序。

解析：方差是在初中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中學(xué)習(xí)過的知識(shí)，計(jì)算所有數(shù)的方差首先計(jì)算所有數(shù)的平均數(shù)，通過公式來(lái)計(jì)算。

算法步驟：

第一步：計(jì)算平均數(shù)；

第二步：計(jì)算方差；

第三步：得到的結(jié)果即為所求。

程序如下：

INPUT a，b，c

y=(a+b+c)/3

S=((a－y)²+ (b－y)²+ (c－y)²)/3

PRINT S

END

點(diǎn)評(píng)：套用公式求值問題是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)求值問題的一種，它是一種典型的順序結(jié)構(gòu)，也就是說只通過輸入、輸出和賦值語(yǔ)句就可以完成任務(wù)。解決這類問題的關(guān)鍵是先分析這種問題的解法，即構(gòu)造計(jì)算的過程，再寫出算法步驟和流程圖，再翻譯成算法語(yǔ)句即可。

例4．編寫一個(gè)程序，要求輸入的兩個(gè)正數(shù)a和b的值，輸出a^b和b^a的值。

解析：可以利用INPUT語(yǔ)句輸入兩個(gè)正數(shù)，然后將a^b和b^a的值分別賦給兩個(gè)變量輸出即可。也可以將a^b和b^a的底數(shù)和冪數(shù)進(jìn)行交換，故還可以利用賦值語(yǔ)句，采用將兩個(gè)變量的值互換的辦法實(shí)現(xiàn)。

程序1：

INPUT “a，b：”；a，b

A=a^b

B=b^a

PRINT “a^b=”；A，“b^a=”；B

END

程序2：

INPUT “a，b：”；a，b

A=a^b

PRINT “a^b=”；A

x=a

a=b

b=x

A=a^b

PRINT “a^b=”；A

END

點(diǎn)評(píng)：交換a，b的值可通過下面三個(gè)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)：

通過引進(jìn)一個(gè)變量t實(shí)現(xiàn)變量a和b的值的交換，因此只需用賦值語(yǔ)句即可實(shí)現(xiàn)算法。在一些較為復(fù)雜的問題算法中經(jīng)常需要對(duì)兩個(gè)變量的值進(jìn)行交換，因此應(yīng)熟練掌握這種方法。

題型3：條件語(yǔ)句

例5．編寫程序，輸出兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b的最大值。

解析：要輸出兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b的最大值，從而想到對(duì)a，b的大小關(guān)系進(jìn)行判斷，a，b的大小關(guān)系有兩種情況：(1)a>b；(2)b>a，這也就用到了我們經(jīng)常提及的分類討論的方式，找出兩個(gè)數(shù)的最大值。

解：算法一：

第一步：輸入a， b的數(shù)值；

第二步：判斷a，b的大小關(guān)系，若a>b，則輸出a的值，否則輸出b的值。

(程序框圖如右圖)

程序如下：(“IF-THEN-ELSE”語(yǔ)句)

INPUT“a，b”；a，b

IF　 a＞b　 THEN

PRINT　 a

ELSE

PRINT　 b

END IF

END

算法二：

第一步：輸入a,b的數(shù)值；

第二步：判斷a,b的大小關(guān)系，若b > a，則將b的值賦予a；否則直接執(zhí)行第三步；

第三步：輸出a的值，結(jié)束。

(程序框圖如右圖)

程序如下：(“IF-THEN”語(yǔ)句)

INPUT“a，b”；a，b

IF　 b＞a　 THEN

a=b

END IF

PRINT　 a

END

點(diǎn)評(píng)：1．一個(gè)“好”的算法往往像上面教材例題中的“小技巧”，要熟練、有效的使用它們，則需要在大量的算法設(shè)計(jì)中積累經(jīng)驗(yàn)。我們也可以先根據(jù)自己的思路設(shè)計(jì)算法，再與 “成形”的、高效的、優(yōu)秀的算法比較，改進(jìn)思路，改進(jìn)算法，以避免重復(fù)計(jì)算等問題，提高算法設(shè)計(jì)的水平！

2．我們?cè)谄匠５挠?xùn)練中盡可能的少引用變量，過多的變量不僅會(huì)使得算法和程序變得復(fù)雜，而且不利于計(jì)算機(jī)的執(zhí)行。為此，我們?cè)诰毩?xí)中要積極思考盡可能少引入變量以及如何才能少引入變量。

例6．高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到符號(hào)函數(shù)，符號(hào)函數(shù)的定義為，試編寫程序輸入x的值，輸出y的值。

程序一：(嵌套結(jié)構(gòu))

程序框圖：(右圖)

程序語(yǔ)言：

INPUT　 x

IF x>0 THEN

y=1

ELSE

IF x=0　 THEN

y=0

ELSE

y=－1

END IF

END IF

PRINT y

END

程序二：(疊加結(jié)構(gòu))

程序框圖：

程序如下：

INPUT　 x

IF x>0 THEN

y=1

END IF

IF x=0　 THEN

y=0

END IF

IF x<0　 THEN

y=－1

END IF

PRINT y

END

點(diǎn)評(píng)：1．條件結(jié)構(gòu)的差異，造成程序執(zhí)行的不同。當(dāng)代入x的數(shù)值時(shí)，“程序一”先判斷外層的條件，依次執(zhí)行不同的分支，才有可能判斷內(nèi)層的條件；而“程序二”中執(zhí)行了對(duì)“條件1”的判斷，同時(shí)也對(duì)“條件2”進(jìn)行判斷，是按程序中條件語(yǔ)句的先后依次判斷所有的條件，滿足哪個(gè)條件就執(zhí)行哪個(gè)語(yǔ)句。

5．循環(huán)語(yǔ)句

(1)當(dāng)型循環(huán)語(yǔ)句

當(dāng)型(WHILE型)語(yǔ)句的一般格式為：

WHILE　 條件

循環(huán)體

WEND

說明：計(jì)算機(jī)執(zhí)行此程序時(shí)，遇到WHILE語(yǔ)句，先判斷條件是否成立，如果成立，則執(zhí)行WHILE和WEND之間的循環(huán)體，然后返回到WHILE語(yǔ)句再判斷上述條件是否成立，如果成立，再執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過程反復(fù)執(zhí)行，直到一次返回到WHILE語(yǔ)句判斷上述條件不成立為止，這時(shí)不再執(zhí)行循環(huán)體，而是跳到WEND語(yǔ)句后，執(zhí)行WEND后面的語(yǔ)句。因此當(dāng)型循環(huán)又稱“前測(cè)試型”循環(huán)，也就是我們經(jīng)常講的“先測(cè)試后執(zhí)行”、“先判斷后循環(huán)”。

(2)直到型循環(huán)語(yǔ)句

直到型(UNTIL型)語(yǔ)句的一般格式為：

DO

循環(huán)體

LOOP　 UNTIL　 條件

說明：計(jì)算機(jī)執(zhí)行UNTIL語(yǔ)句時(shí)，先執(zhí)行DO和LOOP　 UNTIL之間的循環(huán)體，然后判斷 “LOOP　 UNTIL”后面的條件是否成立，如果條件成立，返回DO語(yǔ)句處重新執(zhí)行循環(huán)體。這個(gè)過程反復(fù)執(zhí)行，直到一次判斷 “LOOP　 UNTIL”后面的條件條件不成立為止，這時(shí)不再返回執(zhí)行循環(huán)體，而是跳出循環(huán)體執(zhí)行“LOOP　 UNTIL　 條件”下面的語(yǔ)句。

因此直到型循環(huán)又稱“后測(cè)試型”循環(huán)，也就是我們經(jīng)常講的“先執(zhí)行后測(cè)試”、“先循環(huán)后判斷”。

4．條件語(yǔ)句

(1)“IF-THEN-ELSE”語(yǔ)句

格式：

IF　 條件　 THEN

語(yǔ)句1

ELSE

語(yǔ)句2

END　 IF

說明：在“IF-THEN-ELSE”語(yǔ)句中，“條件”表示判斷的條件，“語(yǔ)句1”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語(yǔ)句2”表示不滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；END　 IF表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行“IF-THEN-ELSE”語(yǔ)句時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果符合條件，則執(zhí)行THEN后面的“語(yǔ)句1”；若不符合條件，則執(zhí)行ELSE后面的“語(yǔ)句2”。

(2)“IF-THEN”語(yǔ)句

格式：

IF　 條件 THEN

語(yǔ)句

END　 IF

說明：“條件”表示判斷的條件；“語(yǔ)句”表示滿足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時(shí)，直接結(jié)束判斷過程；END 　IF表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行“IF-THEN”語(yǔ)句時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果符合條件就執(zhí)行THEN后邊的語(yǔ)句，若不符合條件則直接結(jié)束該條件語(yǔ)句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它后面的語(yǔ)句。

3．賦值語(yǔ)句

賦值語(yǔ)句的一般格式：變量=表達(dá)式

賦值語(yǔ)句中的“＝”稱作賦值號(hào)

作用：賦值語(yǔ)句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；

要求：

(1)賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)常量、變量或含變量的運(yùn)算式。如：2=x是錯(cuò)誤的；

(2)賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換。賦值語(yǔ)句是將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的，如x=5是對(duì)的，5=x是錯(cuò)的，A+B=C是錯(cuò)的，C=A+B是對(duì)的。

(3)不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù)式的演算。(如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等)，如

這是實(shí)現(xiàn)不了的。在賦值號(hào)右邊表達(dá)式中每一個(gè)變量的值必須事先賦給確定的值。在一個(gè)賦值語(yǔ)句中只能給一個(gè)變量賦值。不能出現(xiàn)兩個(gè)或以上的“=”。但對(duì)于同一個(gè)變量可以多次賦值。

2．輸出語(yǔ)句

輸出語(yǔ)句的一般格式：PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式

例如：PRINT“S=”；S

功能：實(shí)現(xiàn)算法輸出信息(表達(dá)式)

要求：

(1)表達(dá)式是指算法和程序要求輸出的信息；

(2)提示內(nèi)容提示用戶要輸出的是什么信息，提示內(nèi)容必須加雙引號(hào)，提示內(nèi)容要用分號(hào)和表達(dá)式分開。

(3)如同輸入語(yǔ)句一樣，輸出語(yǔ)句可以一次完成輸出多個(gè)表達(dá)式的功能，不同的表達(dá)式之間可用“，”分隔；輸出語(yǔ)句還可以是“提示內(nèi)容1”；表達(dá)式1，“提示內(nèi)容2”；表達(dá)式2，“提示內(nèi)容3”；表達(dá)式3，……”的形式；例如：PRINT “a,b,c:”；a,b,c。

1．輸入語(yǔ)句

輸入語(yǔ)句的格式：INPUT “提示內(nèi)容”； 變量

例如：INPUT “x=”； x功能：實(shí)現(xiàn)算法的輸入變量信息(數(shù)值或字符)的功能。

要求：

(1)輸入語(yǔ)句要求輸入的值是具體的常量；

(2)提示內(nèi)容提示用戶輸入的是什么信息，必須加雙引號(hào)，提示內(nèi)容 “原原本本”的在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示，提示內(nèi)容與變量之間要用分號(hào)隔開；

(3)一個(gè)輸入語(yǔ)句可以給多個(gè)變量賦值，中間用“，”分隔；輸入語(yǔ)句還可以是““提示內(nèi)容1”；變量1，“提示內(nèi)容2”；變量2，“提示內(nèi)容3”；變量3，……”的形式。例如：INPUT“a=，b=，c=，”；a，b，c。