題目列表(包括答案和解析)

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16、解:(1)設P(x0,y0)(x0>a,y0>0),又有點

A(-a,0),B(a,0).

…………………………(7分)

∴CD垂直于x軸.若CD過橢圓C1的右焦點,則

故可使CD過橢圓C1的右焦點,此時C2的離心率為.…………(12分)

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15、解:設初中x個班,高中y 個班,則……………(4分)

設年利潤為s,則……(6分)

作出(1)、(2)表示的平面區(qū)域,如圖,易知當直線1.2x+2y=s過點A時,s有最大值.

  由解得A(18,12).……(10分)

(萬元).

即學?梢(guī)劃初中18個班,高中12個班,

可獲最大年利潤為45.6萬元.……(12分)

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14、(1)解:作出橢圓的左準線l,作MN⊥ll于點N.

  設,橢圓的離心率是e,橢圓的半焦距是c.

根據橢圓的定義得:,所以

,同理可得:

所以

由||MF1|·||MF2|的最小值為得:

  ,解得…………4分

[注:若學生沒有證明|MF1|=

而直接使用此結論,則(Ⅰ)中扣去1分]

(Ⅱ)解:依題意得雙曲線C2的離心率為2,

設C2的方程是假設存在適合題意的常

,①先來考查特殊情形下的值:

PA⊥x軸時,將x=2c代入雙曲線方程,解得|y|=3c,

因為|AF1|=3c,所以△PAF1是等腰直角三角形,

∠PAF1=90°,∠PF1A=45°,此時=2………7分

②以下證明當PA與x軸不垂直時,∠PAF1=2∠PF1A恒成立.

,由于點P在第一象限內,所以直線PF1斜率存在,;

因為PA與x軸不垂直,所以直線PA斜率也存在,.

因為所以,將其代入上式并化簡得:

因為∠PAF1+∠PAx=180°,

所以即tan2∠PF1A=tg∠PAF1.………………12分

因為∠所以∠PAF1、

2∠PF1A所以∠PAF1=2∠PF1A恒成立.

綜合①、②得:存在常數,使得對位于雙曲線C2在第一象限內的任意一點p,

∠PAF1=2∠PF1A恒成立.……………………14分

[注:②中如果學生認為∠PAF1、2∠PF1A本題不扣分]

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13、(I)由題意,設(),由余弦定理, 得

   

·,當且僅當時,· 取最大值,

此時取最小值,令,解得,,∴,故所求的軌跡方程為.

(II)設,則由,可得,

,∵、在動點的軌跡上,故,消去可得,解得,

,∴,解得,故實數的取值范圍是

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11、當時,有,此時有不等式  (*)先證左不等式,去分母有理化

     得證. 再證右不等式,去分母有理化    

綜合以上可知,不等式(*)獲證.  故存在常數滿足題意.

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12、(Ⅰ)法一: ,

解得                 

   

  法二:同上得

    (Ⅱ)

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20、已知函數

(1)設處取得極值,其中求證:

(2)設點A(,求證:線段AB的中點C在曲線

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19、解關于x的不等式

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18、已知橢圓的一條準線方程是其左、右頂點分別是A、B;雙曲線的一條漸近線方程為3x-5y=0.

(Ⅰ)求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率;

(Ⅱ)在第一象限內取雙曲線C2上一點P,連結AP交橢圓C1于點M,連結PB并延長交橢圓C1于點N,若. 求證:

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17、   如圖,過點(1,0)的直線l與中心在原點,焦點在x軸上且離心率為的橢圓相交于A、B兩點,直線過線段AB的中點M,同時橢圓上存在一點與右焦點F關于直線l稱,求直線l和橢圓的方程.

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