1.已知直線l₁:x+ay+1=0與直線l₂:x－2y+2=0垂直，則a的值為　　 D

A.2　　　　　　　　 B.－2　　　　　　　　　　　　　 C.－ 　　　　　　　　　　　 D.

6、直線在y軸上的截距是－1，且它的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則　　　　　　 　 (　　 )

A．　 B． C．　　　　　　　 D．

平行直線x－y+1 = 0，x－y－1 = 0間的距離是(B) 　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　 D．

(三)解答題

16.已知平面α和不在這個(gè)平面內(nèi)的直線a都垂直于平面β，求證a∥α.

17.如圖，正方形ABCD，E、F分別在AB、CD的中點(diǎn)，G為BF的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形沿EF折成 120°的二面角.求①異面直線EF和AG所成的角；②AG和平 面EBCF所形成的角.

18.圓柱底面半徑是3，高是4，A與B分別是兩底的圓周上的點(diǎn)，且AB＝5，求異面直線AB與OO ₁間的距離。

19.如圖，已知二面角α-PQ-β為60°，點(diǎn)A和B分別在平面α和平面β內(nèi)，點(diǎn)C在棱PQ 上，且∠ACP=∠BCP=30°AC=BC　 ①求證AB⊥PQ；②求直線PQ

在面ABC所成角的大小.

20.如圖，設(shè)ABCD是矩形，沿對(duì)角線DB將ABDC折起，使點(diǎn)C在底面DAB上的射影E恰好落在 AB邊上

(1)求證：平面ABC⊥平面ACD。

(2)若AB＝2，BC＝，求二面角C-AD-B的大小及三棱錐C-ABD的體積。

(二)填空題

11.兩條異面直線所成的角為θ，則cosθ的取值范圍是　　　　　　　 .

12.棱長(zhǎng)為1的正方體，PA、PB、PC是共一個(gè)頂點(diǎn)P的三條棱，那么點(diǎn)P到平面ABC的距離是　　　　　　　 .

13.從三棱錐六條棱的中點(diǎn)中，任選四個(gè)作為四邊形的頂點(diǎn).其中為平行四邊形的個(gè)數(shù)有 個(gè).

14.正方體ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60°的二面角，則異面直線AD與BF所成角為　　　　 .

15.正四棱錐S-ABCD的高為2，底面邊長(zhǎng)為，P、Q兩點(diǎn)分別在線段BD和SC上 ，則P、Q兩點(diǎn)的最短距離為　　　　　 .

(一)選擇題

1.有下列四個(gè)命題：

(1)n條直線中，若任意兩條都共面，則這n條直線都共面

(2)分別與兩條異面直線都相交的兩條直線是異面直線

(3)空間中有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

(4)兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是平行線

其中，真命題的個(gè)數(shù)為(　　 )

A.0　　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.3

2.下列命題中，真命題是(　　 )

A.若直線m、n都平行于平面α則m∥n

B.設(shè)α-l-β是直二面角，若直線m⊥l,則m⊥β

C.若m、n在平面α內(nèi)的射影依次是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，且m⊥n,則n在α內(nèi)或n與α平行

D.若直線m、n是異面直線，若m與平面α平行，則n與α平行，則n與α相交

3.已知直線a、b和平面α，下列命題正確的是(　　 )

(1)　　　　　　　 (2)

(3) 　　　　　　　(4) 　

A.(1)(2)　　　　　　　　　　　　 B.(1)(2)(3)

C.(1)(2)(4)　　　　　　　　　　 　D.(2)(3)(4)

4.設(shè)α、β是兩個(gè)不重合的平面，m和l是兩條不重合的直線，則α∥β的一個(gè)充分條(　　 )

A.lα，mα且l∥β，m∥β

B.lα， mβ且l∥m

C.l⊥α，m⊥β，且l∥m

D.l∥α，m∥β且l∥m

5.四棱柱成平行六面體的充分但不必要條件是(　　 )

A.底面是矩形　 　　　　　　　　　　B.側(cè)面是平行四邊形

C.一個(gè)側(cè)面是矩形　　　　　　　　　 D.兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形

6.二面角α-EF-β是直二面角，C∈EF，ACα，BCβ，如果∠ACF=30°，∠ACB=60° ，∠BCF=θ，那么cosθ的值等于，則(　　 )

A.　　　 B.　　　 C.　　 D.

7.如圖，有共同底邊的等邊△ABC和等邊三角形BCD所在平面互相 垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為(　 )

A.　　　　 B.　　　 C.　　　　 D.

8.正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中截面AB₁C和截面A₁B₁C所成的二面角的大小(　　 )

A.45°　　　 　　　　　　　　　　B.60°

C.arccos　 　　　　　　　　　D.arccos

9.如圖，BCDE是一個(gè)正方形，AB⊥平面CE，側(cè)圖中相互垂直的平面有(　　 )

A.3組　　　　　　 B.6組

C.7組　　　　　　 D.8組

10.正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁BC₁與平面ABCD所成二面角的正弦值是(　　 )

A.　　　 B.　　　 　C.　　　 　D.

(二)空間直線和平面

例15　 如果直線l是平面α的斜線，那么在平面α內(nèi)(　　 )

A.不存在與l平行的直線

B.不存在與l垂直的直線

C.與l垂直的直線只有一條

D.與l平行的直線有無窮多條

解　 A正確。若存在l′α且l′∥l，那么，或者l∥α或者lα，均與“l(fā)是 α的斜線”矛盾

由A.正確D.錯(cuò)誤

由三垂線定理知，B、C均不正確。

例16　 如圖(1)，ABCD是正方形，E是AB中點(diǎn)，如 將△DAE和△CBE分別沿虛線DE和CE折起，使AE與BE重合，記A與B重合后的點(diǎn)為P，則面PCD與 面ECD所成的二面角為　　　　 度.

解：在圖(2)上作PH⊥CD于H，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)1.

易知PD＝l，PC＝l，∴H為DC中點(diǎn).

又ED＝EC.

∴EH⊥DC于H.

設(shè)∠PHE＝θ，則θ為面PCD與面ECD所成二面角的大小.

在△PDC中，由PD＝PC＝DC＝l，得PH＝，

在△EDC中，由EH＝

　　　　　　　　 ＝＝l，

又P是A、B重合的點(diǎn)，故PE＝AE＝.

用余弦定理于△PHE，有

cosθ＝cos∠PHE＝

　　　　　　　 ＝，

由于θ∈(0，180°)，得θ＝30°.

應(yīng)填30°.

例17　 已知：如圖，平面α∩平面β＝直線a，α 、β同時(shí)垂直于平面 r，又同時(shí)平行于直線b.

求證：(1)a⊥γ，(2)b⊥γ.

證明：(1)設(shè)α∩γ＝m，β∩γ＝n.

在直線a上任選不在平面γ上的點(diǎn)A，作AO⊥m于O，AO′⊥n于O′.

∵AOα，α⊥γ且α∩γ＝m，AO⊥m，

∴AO⊥γ(兩面垂直，則在其中一個(gè)平面上且垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)面).同理AO ′⊥γ.

但平面γ外的點(diǎn)A在平面γ的射影唯一.

∴O和O′重合于m，n的交點(diǎn).

即直線a⊥平面γ.

(2)∵b∥平面α，

∴存在b′α，b′≠a；滿足b∥b′.

又b∥β，從而b′∥β.

因?yàn)槠矫姒吝^b′且交平面β于a，

∴b′∥a，從而b∥a.

由a⊥γ，得b⊥γ.

例18　 如果直線l，m與平面α、β、γ滿足：l＝β∩ r，l∥α

，mα，和m⊥γ，那么必有(　　 )

A.α⊥γ且l⊥m

B.α⊥γ且m∥β

C.m∥β且l⊥m

D.α∥β且α⊥γ

解：∵mα，m⊥γ，

∴γ⊥α，

∵lγ，m⊥γ，

∴m⊥l.

即在題設(shè)的條件下必有γ⊥α且l⊥m.

應(yīng)選A.

例19　 如圖1-37，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E ∈BB₁，截面A₁EC⊥側(cè)面AC₁.

(1)求證：BE＝EB₁；

(2)若AA₁＝A₁B₁，求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數(shù) .

注意：在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容，使之成為(1)的完成證明，并解答(2).

證明：在截面A₁EC內(nèi)，過E作EG⊥A₁C，G是垂足.

(Ⅰ)∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴EG⊥側(cè)面AC₁，取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)BF、FG，由AB＝BC得BF⊥FC.

(Ⅱ)∵　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

∴BF⊥側(cè)面AC₁，得BF∥EG，BF、EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC₁于FC.

(Ⅲ)∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴BF∥EG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE＝FG.

(Ⅳ)∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴FG∥AA₁，ΔAA₁C∽ΔFGC，

(Ⅴ)∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴FG=AA₁＝BB₁，即BE=BB₁，故BE＝EB₁.

解：(1)(Ⅰ)∵面A₁EC⊥側(cè)面AC₁，

(Ⅱ)∵而面ABC⊥側(cè)面AC₁，

(Ⅲ)∵BE∥側(cè)面AC₁，

(Ⅳ)∵BE∥AA₁，

　　 　　(Ⅴ)∵AF＝FC.

(2)分別延長(zhǎng)CE、C₁B₁交于點(diǎn)D，連結(jié)A₁D.

∵EB₁∥CC₁，EB₁＝BB₁＝CC₁，

∴DB₁＝DC₁＝B₁C₁＝A₁B₁，

∵∠B₁A₁C₁＝∠B₁C₁A₁＝60°

∠DA₁B₁＝∠A₁DB₁＝ (180°-∠DB₁A₁)＝30°

即DA₁⊥A₁C₁

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁，即A₁C₁在平面A₁C₁D上的射影，根據(jù)三垂線定理得DA₁⊥A₁C，

∴∠CA₁C是所求二面角的平面角.

∵CC₁＝AA₁＝A₁B₁＝A₁C₁，∠A₁C₁C＝90°，

∴∠CA₁C₁＝45°，即所求二面角為45°.

例20　 在空間中，下列命題成立的是(　　 )

A.過平面α外的兩點(diǎn)，必有且只有一個(gè)平面與平面α垂直

B.若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則直線l必平行于平面α

C.若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)多條直線垂直，則直線l必垂直于平面α

D.互相平行的兩條直線在一個(gè)平面內(nèi)的射影仍然是互相平行的兩條直線

E.若點(diǎn)P到三角形的三條邊的距離相等，則點(diǎn)P在該三角形所在平面內(nèi)的射影必然是該三角形的內(nèi)心

解：A不正確.若平面α外的兩點(diǎn)A、B使直線AB⊥α，則過A、B兩點(diǎn)且與α垂 直的平面有無數(shù)多個(gè).

B不正確.設(shè)l和α交于點(diǎn)O，在l上取OA＝OB，則A、B到平面α等距但直線AB 不平行于平面α.

C不正確.設(shè)l斜交α于O，在α內(nèi)過O點(diǎn)作m⊥l，則α內(nèi)與m平行的無數(shù)多條 直線都平行于l，但l與α不垂直.

D不正確.若互相平行的兩直線a，b所確定的平面β⊥α，則a，b在α內(nèi)的 射影是一條直線.

E正確.由三垂線定理易證明它的正確性.

例21　 已知二面角α-AB-β的平面角是銳角θ，α內(nèi)一點(diǎn)C到β的距離為3， 點(diǎn)C到棱的距離為4，那么tgθ的值等于(　　 )

A.　　　　　 B.　　　　 　C.　　　　　　 D.

解：如圖，CO⊥β于O，CD⊥AB于D，則CO＝3，CD＝4，∠CDO＝θ，∠COD＝90°.

∴tgθ＝

＝.

應(yīng)選C.

例22　 下列命題中，錯(cuò)誤的是(　　 )

A.若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這平面上所有的直線

B.若一個(gè)平面通過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直

C.若一條直線垂直于一個(gè)平面的一條垂線，則此直線平行于這個(gè)平面

D.若平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直

解：B為兩面垂直的一個(gè)判定定理.

A為線面垂直的性質(zhì)定理.

C錯(cuò)誤：設(shè)l⊥平面α，m∥l，若mα，則m∥α.

應(yīng)選C.

例23　 下列四個(gè)命題中的真命題是(　　 )

A.若直線l平面α內(nèi)兩條平行直線垂直，則l⊥α

B.若平面α內(nèi)兩條直線與平面β內(nèi)兩條直線分別平行，則α∥β

C.若平面α與直二角β-MN-r，棱MN交于點(diǎn)A，與二面角的面β，而r分別交于AB、AC，則∠BAC≤90°

D.以上三個(gè)命題都是假命題.

解：命題A不真

命題B不真；若這四條直線都平行，則有可能α∥β

命題C不真：

如圖

BC²＝BB′²+BC′²

＝BB′²+CC′²+B′C²

　 　＝BB′²+CC′²+(B′A+C′A)²

　　 �。綛B′²+CC′²+B′A′²+C′A²

　 ＝(BB′²+B′A²)+(CC′²+C′A²)

　 ＝BA²+CA²

∴∠BAC＞90°

應(yīng)選D.

[同步達(dá)綱練習(xí)]

(一)綜合例題賞析

例11　 設(shè)a、b是兩條異面直線，那么下列四個(gè)命題中的假命題是(　　 )

A.經(jīng)過直線a有且只有一個(gè)平面平行于直線b

B.經(jīng)過直線a有且只有一個(gè)平面垂直于直線b

C.存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個(gè)互相平行的平面

D.存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個(gè)互相垂直的平面

解：B是假命題，因?yàn)閷?duì)于異面直線a、b，有時(shí)不存在過直線a且垂直于直線 b的平面.

如圖，直線a是圓柱體的軸線，M、N分別為上下底圓周上的點(diǎn)且MN∥a，令b為直線MN， 則a，b為異面直線.

過直線a的平面以直線a為軸旋轉(zhuǎn)，它們均與b不垂直.

例12　 已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P與a、b 所成的角都是30°的直線有且僅有(　　 )

A.1條　　 B.2條　　 C.3條　　 D .4條

解：如圖過點(diǎn)作PA∥a，PB∥b，則∠APB的異面直線a、b所成的平面角，由已知∠APB＝50°.

作∠APB的平分線PO，任取O∈PO，作CO⊥平面APB，令CB⊥PA于A，CB⊥PB于B，則由三垂線

定理知，OA⊥PA于A，OB⊥PB于B.

考慮C點(diǎn)沿平面APB的垂線OC自O(shè)點(diǎn)出發(fā)向上移動(dòng)，易知∠CPB∈(25°，90°)，

∴存在唯一點(diǎn)C使∠CPB＝∠CPA＝30°.

同理在垂線CO的下方還存在對(duì)稱點(diǎn)C′，使∠C′PA＝∠C′PB.

∴符合題設(shè)的直線有且只有兩條.應(yīng)選B.

例13　 如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線BC₁與直線AC(　　 )

A.相交且垂直

B.相交但不垂直

C.異面且垂直

D.異面但不垂直

解：直線BC₁和AC異面不垂直.

∵BC₁∥AD₁，

∴∠CAD₁為異面直線AC，BC₁所成的角.

在△CAD₁中，CA＝AD₁＝D₁C.

∴∠CAD₁＝60°

即AC和BD₁成60°角.

應(yīng)選D.

例14　 設(shè)a、b是異面直線，那么(　　 )

A.必然存在唯一的一個(gè)平面同時(shí)平行于直線a和b

B.必然存在唯一的一個(gè)平面同時(shí)垂直于直線a和b

C.過直線a存在唯一的一個(gè)平面平行于直線b

D.過直線a存在唯一的一個(gè)平面垂直于直線b

解：A不正確.因?yàn)榇怪庇诋惷嬷本�a、b公垂線的任何一個(gè)平面都與a、b平行 .

B不正確.若a⊥α，且b⊥α，則a∥b，此與a、b異面矛盾.

C正確.

D不正確.有時(shí)過直線a的所有平面都與直線b不垂直.

∴應(yīng)選C.

(十)直線與平面的綜合問題

例10已知如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2,AC=2,且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C。

(1)求側(cè)棱A₁A與底面ABC所成角的大小。

(2)求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小。

(3)求側(cè)棱B₁B和側(cè)面A₁ACC₁的距離。

解　 (1)作A₁D⊥AC于D

由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥ABC

所以∠A₁AD為A₁A與面ABC所成的角

因AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C，

所以　 ∠A₁AD＝45°為所求.

(2)作DE⊥AB于E，連結(jié)A₁E，由A₁D⊥面ABC得A₁E⊥AB(三垂線定理)

則　 ∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成的二面角的平面角.

由已知，AB⊥BC，得DE∥BC，又D是AC中點(diǎn)，BC＝2，AC＝2

DE＝1，AC＝A₁D＝，tg∠A₁ED＝＝

故　 ∠A₁ED＝60°為所求.

(3)作BF⊥AC于F，由面A₁ACC₁⊥面ABC，知BF⊥面A₁ACC₁

因　 B₁B∥面A₁ACC₁

BF的長(zhǎng)是B₁B和面A₁ACC₁的距離

在Rt△ABC中，AB＝＝2

所以　 BF＝

(九)點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、直線與平面、平面與平面間的距離的定義及計(jì)算

例9　 已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝a，AC=b，沿高AD折成直二面角(如圖).(1)判斷此時(shí)△ABC的形狀；(2)求D到平面ABC的距離.

解：(1)DH⊥平面ABC，因DA、DB、DC兩兩互相垂直，故H為△ABC的垂心(證明略)，AE⊥BC，由cosθ=cosθ₁cosθ₂，得cos∠ABE=cos∠ABD ·cos∠DBC.

∵∠ABD和∠DBC分別為Rt△BDC的銳角，故0＜cos∠ABD，cos∠DBC＜1，

∴0＜cos∠ABE＜1，即∠ABC為銳角，

同理可證∠ABC、∠CAB均為銳角，∴△ABC為銳角三角形.

(2)解法一：設(shè)D到平面ABC的距離為x.∵V_D-ABC＝V_A-BDC得xS_ABC＝AD·S_△BDC，

解出 x＝.

解法二：作AE⊥BC，AD⊥平面DBC，故DE⊥BC.BC⊥平面ADE，平面ADE⊥平面ABC，作DH⊥AE ，則DH是D到平面ABC的距離(以點(diǎn)線距離代替點(diǎn)面距離).在Rt△ADE中，DH是斜邊AE上的高，解出

DH＝.

(八)二面角

例8　 如圖8(1)，平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠C=135°,沿對(duì) 角線AC將四邊形折成直二面角(如圖8(2))

　　　　

圖8(1)

(1)求證：平面ABD⊥平面BCD；

(2)求平面ABD與平面ACD所成的角；

(3)求C到平面ABD的距離。

證明　 (1)因B-AC-D是直二面角，CD⊥AC，

故 CD⊥平面ABC.CD⊥AB，AB⊥BC

AB⊥平面BCD，AB平面ABD，

所以　 平面ABD⊥平面BDC。

解　 (2)如圖8(2)設(shè)M是AC的中點(diǎn)，則BC⊥AC，BM⊥平面ACD。作BN⊥AD，則MN⊥AD(三垂線定 理的逆定理).∠BNM為二面角B-AD-C的平面角。MN＝AM·sin∠CAD＝a·=，MB=a.在Rt△BMN中，tg∠BNM==,

則　 二面角B-AD-C是60°的二面角。

(3)由(1)知，平面ABD⊥平面BCD，

作CH⊥BD，則CH⊥平面ABD。

CH=a，故C到平面ABD的距離為a.