一元二次方程專題復(fù)習(xí)（二）
根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用
如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，那么
反過來，如果x1，x2滿足x1+x2=p，x1x2=q，則x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的兩個根．一元二次方程的韋達定理，揭示了根與系數(shù)的一種必然聯(lián)系．利用這個關(guān)系，我們可以解決諸如已知一根求另一根、求根的代數(shù)式的值、構(gòu)造方程、證明等式和不等式等問題，它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個有用的工具．
【典型例題】
應(yīng)用一：已知一個根，求另一個根；
例1 ： 方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的大根為a，方程x2＋1998x-1999=0的小根為b，求a-b的值．
解 : 先求出a，b．
由觀察知，1是方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的根，于是由韋達定理知，另一根為
，于是可得a=1.又從觀察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根為-1999，從而b=-1999．
所以a-b=1-(-1999)=2000．
應(yīng)用二：求根的代數(shù)式的值
不解方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求兩個代數(shù)式的值關(guān)鍵是把所給的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形，化為含
，
的形式，然后把，的值代入，即可求出所求代數(shù)式的值．常見的代數(shù)式變形有：
①
②
③ 
④ 
⑤
例2： 已知二次方程x2-3x＋1=0的兩根為α，β，求：
（1）
（2）
(3)α3＋β3
解： 由韋達定理知 ： α+β=3， α?β=1．
（1）
（2）
(3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=3(9-3)=18；
例3： 設(shè)方程4x2-2x-3=0的兩個根是α和β，求4α2＋2β的值．
解： 因為α是方程4x2-2x-3=0的根，所以
4α2-2α-3＝0，
即 4α2=2α＋3．由韋達定理可知，
.所以
4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．
例4： 已知α，β分別是方程x2＋x-1=0的兩個根，求2α5+5β3的值．
解： 由于α，β分別是方程x2＋x-1=0的根，所以
α2+α-1=0，β2+β-1=0，
即 α2=1-α，β2=1-β．
α5=(α2)2?α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α= -3α2+2α
= -3(1-α)+2α=5α-3，
β3=β2?β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1．所以
2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．
說明： 此解法的關(guān)鍵在于利用α，β是方程的根，從而可以把它們的冪指數(shù)降次，最后都降到一次，這種方法很重要．
應(yīng)用三：與兩根之比有關(guān)的問題；
例5： 已知x1，x2是一元二次方程 4x2-(
，求m的值.
解： 首先，△=(
從上面兩式中消去k，便得
即 m2
所以 m1=1，m2=5．
應(yīng)用四：求作新的二次方程
例6： 求一個一元二次方程，使它的兩根分別是
。
解：
例7：
已知方程
的兩根為
，求一個一元二次方程，使它兩根為
和
。
分析：所求方程
，只要求出
的值即可。
解：設(shè)所求一元二次方程為
為方程的兩根
∴由韋達定理
又
∴所求一元二次方程為 
即：
點撥：應(yīng)用根系關(guān)系構(gòu)造方程，如果方程有兩實根
，那么方程為
，當(dāng)
為分?jǐn)?shù)時，往往化成整系數(shù)方程。
應(yīng)用五：求方程中某些待定字母系數(shù)的值
例8：
已知是關(guān)于x的一元二次方程
的兩個實數(shù)根。
（1）用含m的代數(shù)式表示
；
（2）當(dāng)
時，求m的值。
解：（1）由題意：
（2）由（1）得：
解得：
檢驗：當(dāng)
時，原方程無實根。
∴舍去
當(dāng)
時，原方程有實根。
∴
點撥：易忽略檢驗，要學(xué)會靈活應(yīng)用一元二次方程有關(guān)概念，及判別式，根系關(guān)系。
應(yīng)用六：判斷一元二次方程根的符號
例9： 已知方程
.m為何值時，方程有兩個正根.
解：
.
，
∴m為任何實數(shù)時，方程都有兩個不相等的實數(shù)根.
當(dāng)方程的兩個根都為正數(shù)時，有
，且
.解不等式組
，解得 m>7. ∴ m>7時，方程有兩個正實數(shù)根
【模擬試題】
一. 選擇題。
1. 已知
是關(guān)于x的一元二次方程
的一個根，則k與另一根分別為（
）
A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-2
2. 已知方程
的兩根互為相反數(shù)，則m的值是（
）
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
3. 若方程
有兩負根，則k的取值范圍是（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 若方程
的兩根中，只有一個是0，那么（
）
A. 
B. 
C. 
D. 不能確定
5. 方程
的大根與小根之差等于（ ）
A. 
B. 
C.
1
D. 
6. 以
為根的，且二次項系數(shù)為1的一元二次方程是（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 若方程組
有兩組相同的實根，則m=_______________。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二. 填空題。
7. 關(guān)于x的一元二次方程
的兩根互為倒數(shù)，則m＝________。
8. 已知一元二次方程
兩根比2：3，則a，b，c之間的關(guān)系是______。
9. 已知方程
的兩根，且
，則
________。
10. 已知是方程
的兩根，不解方程可得：
________，
________。
11. 已知
，則以為根的一元二次方程是______________________________。
12.如果一個矩形的長和寬是一元二次方程
的兩個根，那么這個矩形的周長是_________
三. 解答題。
13. 已知方程
的兩個實根中，其中一個是另一個的2倍，求m的值。
14. 已知方程
的兩根
不解方程，求
的值。
15. 已知方程
的兩根，求作以
為兩根的方程。
16. 設(shè)是方程
的兩個實根，且兩實根的倒數(shù)和等于3，試求m的值。
17.已知關(guān)于x的方程
（1）當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根，求m的取值，并求出此時方程的根。
（2）是否存在正數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于136？若存在，請求出m的值，不存在，說明理由。
2007-2008年北京中考數(shù)學(xué)一元二次方程試題匯編
1.已知關(guān)于x的一元二次方程
的兩個不相等的實根中，有一個根是0，則m的值為_________________________.
2.已知：關(guān)于x的二次方程
的一個根為x=1，且有
，則
的值為_____________________.
3.甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價均為m元的商品，甲超市連續(xù)兩次降價20%，乙超市一次性降價40%，丙超市第一次降價30%，第二次降價10%，此時顧客要購買這種商品最劃算應(yīng)到的超市是 （ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D. 乙或丙
4.“5?
米，所列方程正確的是（
）
A．
B．
C．
D．
6.已知：關(guān)于的一元二次方程
．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為
，
（其中
）．若
是關(guān)于
的函數(shù)，且
，求這個函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量的取值范圍滿足什么條件時，
．
（1）證明：
（2）解：
 |
（3）解：
7.已知：關(guān)于x的兩個方程
① 與 
②
方程①有兩個不相等的負實數(shù)根，方程②有兩個實數(shù)根
⑴求證方程②的有兩根符號相同；
⑵設(shè)方程②的兩根分別為
，若
：
=1：3，且n為整數(shù)，求m的最小整數(shù)值.
8.已知關(guān)于x的一元二次方程
有兩個不相等的實數(shù)根.
⑴ 求k的取值范圍；
⑵ 如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與
有一個相同的根，求此時m的值.
9.北京申奧成功，促進了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通信公司開發(fā)了一種新型通信產(chǎn)品投放市場，根據(jù)計劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少
，第三年比第二年減少
，該產(chǎn)品第一年收入資金約為400萬元，公司計劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收回，還要贏利，要實現(xiàn)這一目標(biāo)，該產(chǎn)品收入的年平均增長率約是多少？（百分號前保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：
）
10.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，根據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產(chǎn)品的銷售情況請解答以下問題：
⑴ 當(dāng)銷售單價為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；
⑵ 商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應(yīng)定為多少？
11. 某商店有一批襯衫將出售，如果每件盈利40元，每天可售出20件，為了盡快減少庫存，增加盈利，商場決定降價出售，經(jīng)過調(diào)查得知，若每件襯衫降價1元，則平均每天多售出2件，問：
（1）每件襯衫應(yīng)降價多少元時，平均每天可盈利1200元；
（2）商場每天盈利能不能達到1250元，若能達到，每件襯衫應(yīng)降價多少元？若不能達到，請說明理由。
12. 一塊矩形耕地大小尺寸如圖1，如果修筑同樣寬的兩條“之”字形的道路，如圖1所示，余下的部分作為耕地．要使耕地的面積為
13. 某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為
．在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留
？
14. 在一幅長
，設(shè)金色紙邊的寬為
cm，那么滿足的方程為
.
15.在長為
16.如圖，有一長方形的地區(qū)，長為x千米，寬為
16.一塊矩形耕地大小尺寸（如圖1所示）要在這塊土地上沿東西和南北方向分別挖2條和4條水渠，如果水渠的寬相等，而且要保證余下的可耕地面積為
一元二次方程專題復(fù)習(xí)（一）
【課標(biāo)要求】
1. 了解一元二次方程的定義及一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).
2. 掌握一元二次方程的四種解法，并能靈活運用.
3. 掌握一元二次方程根的判別式，并能運用它解相應(yīng)問題.
4. 掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，會用它們解決有關(guān)問題.
5. 會解一元二次方程應(yīng)用題.
【知識梳理】
1．靈活運用四種解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)
四種解法：直接開平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：
x=
(b2
注意：掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo)；主要數(shù)學(xué)方法有：配方法，換元法，“消元”與“降次”。
2．根的判別式及應(yīng)用(△=b2
(1)判定一元二次方程根的情況。
(2)確定字母的值或取值范圍。
3．根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)的應(yīng)用：韋達定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2，則x1+x2=―
，x1?x2=
。
(1)已知一根求另一根及未知系數(shù)；
(2)求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值；
(3)已知兩根求作方程；
(4)已知兩數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)；
(5)確定根的符號:(x1，x2是方程兩根)。
應(yīng)用韋達定理時，要確保一元二次方程有根，即一定要判斷根的判別式是否非負;求作一元二次方程時，一般把求作方程的二次項系數(shù)設(shè)為1，即以x1、x2為根的一元二次方程為x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系數(shù)的值時，需使二次項系數(shù)a≠0，同時滿足△≥0;求代數(shù)式的值，常用整體思想，把所求代數(shù)式變形成為含有兩根之和x1+x2，兩根之積x1x2的代數(shù)式的形式，整體代入。
4．一元二次方程的應(yīng)用：解應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程。最后還要注意求出的未知數(shù)的值，是否符合實際意義。
【中考主要考點】
①利用一元二次方程的意義解決問題
②用整體思想對復(fù)雜的高次方程或分式方程進行變形（換元法）
③考查配方法（主要結(jié)合函數(shù)的頂點式來研究）
④一元二次方程的解法
⑤一元二次方程根的近似值
⑥建立一元二次方程模型解決問題
⑦利用根的判別式求方程中的字母系數(shù)的值和利用根與系數(shù)關(guān)系求代數(shù)式的值
⑧與一元二次方程相關(guān)的探索或說理題
⑨與其他知識結(jié)合，綜合解決問題
一元二次方程的定義、解法
Ø 要點、考點聚焦
1. 加深理解一元二次方程的有關(guān)概念及一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)
2.熟練地應(yīng)用不同的方法解方程；直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法；并體會“降冪法”在解方程中的含義.（其中配方法很重要）
Ø 課前熱身
1. 當(dāng)a__________時，方程ax2＋3x＋1＝0是一元二次方程.
2. 已知x=1是方程x2+ax+2=0的一個根，則方程的另一根為__________.
3.一元二次方程x(x-1)=x的解是_____________.
4. 若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，且a+b+c=0，則方程必有一根為_______.
5. 用配方法解方程x2-4x+2=0,則下列配方正確的是( )
A (x-2)2=2 B (x+2)2=
Ø 典型例題解析
1、關(guān)于x的一元二次方程(ax－1)(ax－2) ＝x2－2x＋6中，求a的取值范圍___________.
2、已知：關(guān)于x的方程x2－6x＋m2－
3、用配方法解方程2x2-x-1=0
【課時訓(xùn)練】
1、關(guān)于
的一元二次方程
的一個根是0，則
的值為（ ）
A、
B、
C、或
D、
2、解方程
的最適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?nbsp; ）
A. 直接開平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法
3、若a－b＋c＝0，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
4、k____________時，(k2－9)x2＋(k－5)x－3＝0不是關(guān)于x的一元二次方程.
5、已知方程
，則代數(shù)式
_________.
6、解下列方程：
（1）(x－1)2＝4 (2)x2－2x－3＝0 (3)2t2－7t－4＝0（用配方法）
一元二次方程根的判別式
Ø 要點、考點聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況：
(1)當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；
(3)當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根.
2.一元二次方程根的判別式的性質(zhì)反用也成立，即已知根的情況，可以得到一個等式或不等式，從而確定系數(shù)的值或取值范圍．
Ø 課前熱身
1.(2008年?西寧市)若關(guān)于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 ( )
A.m＜1 B. m＜1且m≠0
C.m≤1 D. m≤1且m≠0
2. (2008年?南通市)若關(guān)于x的方程x2+(2k-1)x+k2-
=0有兩個相等的實數(shù)根，則k=
.
3.( 2007巴中市）一元二次方程
的根的情況為（ �。�
A. 有兩個相等的實數(shù)根 B. 有兩個不相等的實數(shù)根C. 只有一個實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根
4、(2007湖北天門）已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0。請你為m選取一個合適的整數(shù)，當(dāng)m=________時，使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根；
Ø 典型例題解析
【例1】 已知關(guān)于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，當(dāng)m為何非負整數(shù)時：
(1)方程只有一個實數(shù)根；(2)方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)方程有兩個不等的實數(shù)根.
【例2】 已知a，b，c是三角形的三條邊，
求證：關(guān)于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0沒有實數(shù)根
【課時訓(xùn)練】
1、（2007巴中市）一元二次方程的根的情況為（ �。�
A. 有兩個相等的實數(shù)根 B. 有兩個不相等的實數(shù)根
C. 只有一個實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根
2、（2007安徽蕪湖）已知關(guān)于x 的一元二次方程
有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（
）
A. m＞－1 B. m＜－2 C. m ≥0 D. m＜0
3、一元二次方程（1－k）x2－2x－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是________.
4、求證：關(guān)于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根。
中考試題
來做
09年北京中考數(shù)學(xué)一模壓軸題精選
【海淀一模】1、我們給出如下定義：如果四邊形中一對頂點到另一對
頂點所連對角線的距離相等，則把這對頂點叫做這個
四邊形的一對等高點.例如：如圖1,平行四邊形ABCD
中，可證點A、C到BD的距離相等，所以點A、C是
平行四邊形ABCD的一對等高點，同理可知點B、D
也是平行四邊形ABCD的一對等高點. 圖1
（1）如圖2，已知平行四邊形ABCD, 請你在圖2中畫出一個只有一對等高點的四
邊形ABCE（要求：畫出必要的輔助線）；
（2）已知P是四邊形ABCD對角線BD上任意一點（不與B、D點重合），請分別
探究圖3、圖4中S1, S2, S3, S4四者之間的等量關(guān)系(S1, S2, S3, S4分別表示△ABP,
△CBP, △CDP, △ADP的面積)：
① 如圖3，當(dāng)四邊形ABCD只有一對等高點A、C時，你得到的一個結(jié)論是 ________；
② 如圖4，當(dāng)四邊形ABCD沒有等高點時，你得到的一個結(jié)論是
____________.
圖2 圖3 圖4
【海淀一模】2、已知: 關(guān)于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根為正實數(shù)，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc
（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標(biāo)為1.
（1）若方程①的根為正整數(shù)，求整數(shù)k的值；
（2）求代數(shù)式
的值；
（3）求證: 關(guān)于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有兩個不相等的實數(shù)根.
【海淀一模】3、在課外小組活動時，小慧拿來一道題（原問題）和小東、小明交流.
原問題：如圖1，已知△ABC, ∠ACB=90° , ∠ABC=45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，連接DE交AB于點F. 探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系.
小慧同學(xué)的思路是：過點D作DG⊥AB于G,構(gòu)造全等三角形，通過推理使問
題得解.
小東同學(xué)說:我做過一道類似的題目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.
小明同學(xué)經(jīng)過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況.
請你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問題：
（1）寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原問題中的其他條件不變，你在
（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC, 原問題中的其他條件不變，你在（1）中
得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明.
【海淀一�！�4、已知拋物線經(jīng)過點 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，與x軸正半軸交于點D.
（1）求此拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；
（2）在x軸上求一點E, 使得△BCE是以BC為底邊的等腰三角形；
（3）在（2）的條件下，過線段ED上動點P作直線PF//BC, 與BE、CE分別交于
點F、G，將△EFG沿FG翻折得到△E¢FG. 設(shè)P（x, 0）, △E¢FG與四邊形FGCB
重疊部分的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍.
【東城一�！�5、已知：關(guān)于
的一元二次方程
（1）若
求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若12＜m＜40的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求
的值．
（東城）
24. （本題滿分7分）在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點A（0，2），點C（-1，0），如圖所示，拋物線
經(jīng)過點B．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【東城一�！�6、請閱讀下列材料：
圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．即如右圖1,若弦AB、CD交于點P則PA?PB=PC?PD．請你根據(jù)以上材料，解決下列問題.
已知⊙O的半徑為2，P是⊙O內(nèi)一點，且OP=1，過點P任作一弦AC，過A、C兩點分別作⊙O的切線m和n，作PQ⊥m于點Q，PR⊥n于點R.（如圖2）
(1)若AC恰經(jīng)過圓心O,請你在圖3中畫出符合題意的圖形，并計算：
的值；
(2)若OP⊥AC, 請你在圖4中畫出符合題意的圖形，并計算：的值；
(3)若AC是過點P的任一弦（圖2）, 請你結(jié)合(1)(2)的結(jié)論, 猜想：的值，并給出證明．
【房山一�！�7、已知關(guān)于x的一元二次方程kx2＋（3k＋1）x＋2k＋1＝0.
（1）求證：該方程必有兩個實數(shù)根；
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別是
，若y1是關(guān)于x的函數(shù)，且
，其中m=
,求這個函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)y2＝kx2＋（3k＋1）x＋2k＋1，若該一元二次方程只有整數(shù)根，且k是小于0 的整數(shù).結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)自變量x滿足什么條件時，y2>y1?
【房山一模】8、已知：二次函數(shù)y=ax2-x+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸是直線x=
，且圖象向右平移一個單位后經(jīng)過坐標(biāo)原點O.
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的外接圓圓心D的坐標(biāo)及⊙D的半徑；
（3）設(shè)⊙D的面積為S,在拋物線上是否存在點M，使得S△ACM=
，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【房山一�！�9、已知：△ABC和△ADE均為等腰直角三角形, ∠ABC＝∠ADE=
， AB= BC，AD=DE，按圖1放置，使點E在BC上，取CE的中點F，聯(lián)結(jié)DF、BF.
（1）探索DF、BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；
（2）將圖1中△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)
，再聯(lián)結(jié)CE，取CE的中點F（如圖2），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；
（3）將圖1中△ADE繞A點轉(zhuǎn)動任意角度（旋轉(zhuǎn)角在
到之間），再聯(lián)結(jié)CE，取CE的中點F（如圖3），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論
圖1 圖2 圖3
【門頭溝一�！�10、已知以x為自變量的二次函數(shù)y=x2＋2mx＋m－7．
（1）求證：不論m為任何實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）若二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點在點（1，0）的兩側(cè)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2＋(
（3）在（2）的條件下，關(guān)于x的另一方程 x2＋2(a＋m)x＋
【門頭溝一�！�11、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線 y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B 兩點（點A在
點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，且點B的坐標(biāo)為（1，0）， 點C的坐標(biāo)
為（0，3）．
（1）求拋物線及直線AC的解析式；
（2）E、F是線段AC上的兩點，且∠AEO＝∠ABC，過點F作與y軸平行的直線交拋物線于點M，交x軸于點N．當(dāng)MF=DE時，在x軸上是否存在點P，使得以點P、A、F、M為頂點的四邊形是梯形？ 若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是位于拋物線對稱軸左側(cè)圖象上的一點，試比較銳角∠QCO與∠BCO 的大�。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果，不要求寫出求解過程，但要寫出此時點 Q的橫坐標(biāo)x的取值范圍）．
【門頭溝一模】12、如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,點E在AB上， F是線段BD的中點，連結(jié)CE、FE.
（1）請你探究線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需說明理由）；
（2）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使△AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連結(jié)BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（3）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)任意的角度（如圖3），連結(jié)BD，取BD的中點F，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．
【延慶一模】13、（本題滿分4分）
如圖1，把一張標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙…．已知標(biāo)準(zhǔn)紙的短邊長為
．
（1）如圖2，把這張標(biāo)準(zhǔn)紙對開得到的“16開”紙按如下步驟折疊：
第一步：將矩形的短邊
與長邊
對齊 折疊， 點
落在上的點
處，鋪平后 得折痕
；
第二步：將長邊與折痕對齊折疊，點
正好與點
重合，鋪平后得折痕
．則
的值是 .
（2）求“2開”紙長與寬的比__________.
（3）如圖3，由8個大小相等的小正方形構(gòu)成“
”型圖案，它的四個頂點
分別在“16開”紙的邊
上，求
的長．
 |
【延慶一模】14、 閱讀理解：對于任意正實數(shù)
，
，
，
，只有當(dāng)
時，等號成立．
結(jié)論：在
（均為正實數(shù)）中，若
為定值
，則
，
只有當(dāng)時，
有最小值
．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
（1） 若
，只有當(dāng)
時，
有最小值
．
（2） 探索應(yīng)用：已知
，
，點P為雙曲線
上的任意一點，過點
作
軸于點
，
．
求四邊形
面積的最小值，并說明此時四邊形的形狀．
 |
【延慶一�！�15、如圖24－1，正方形ABCD和正方形QMNP， M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
（1）猜想：ME 與MF的數(shù)量關(guān)系
（2）如圖24－2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且∠M =∠B，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（3）如圖24－3，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB:BC=1:2，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（4）如圖24－4，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且∠M =∠B ，
AB:BC = m，其它條件不變，求出ME：MF的值。（直接寫出答案）
【延慶一模】16、
在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線
的對稱軸為x=2,且經(jīng)過B（0，4），C（5，9），直線BC與x軸交于點A.
（1）求出直線BC及拋物線的解析式.
（2）D（1，y）在拋物線上，在拋物線的對稱軸上是否存在兩點M、N，且MN=2 ，點M在點N的上方，使得四邊形BDNM的周長最小，若存在，求出M 、N兩點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
（3）現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交于另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線BC距離為
的點P．
09年北京中考壓軸題精選答案
（海淀一模）1．解：
 |
（1）比如： 或 ………………1分
（2）①S1 +S4 = S2 +S3, S1
+S3 = S2 +S4或S1×S3 = S2×S4或
等. ……………2分
②S1×S3 = S2×S4或
等. ……………………………………………4分
（海淀一模）2、（1）解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.
依題意 k-1≠0.
∴ 
. ……………………………………………………………1分
∵ 方程的根為正整數(shù)，k為整數(shù),
∴ k-1=1或k-1=2.
∴ k1= 2, k2=3. ……………………………………………………………2分
（2）解：依題意，二次函數(shù)y=ax2-bx+kc的圖象經(jīng)過點（1，0），
∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .
∴
=
…………………………3分
（3）證明：方程②的判別式為 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 則
根. ………………………………………………………………4分
( ii ) 證法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac
=(a-kc)2+
∵ 方程kx=x+2的根為正實數(shù)，
∴ 方程(k-1) x=2的根為正實數(shù).
由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. …………………………………………………6分
∴ 4ac(k-1)>0.
∵ (a-kc)2³0,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根. …………7分
證法二: 若ac>0,
∵ 拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點,
∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc³0.
(b2
由證法一知 k-1>0,
∴ b2-4ac> b2-4akc³0.
∴ Δ= b2-4ac>0. 此時方程②有兩個不相等的實數(shù)根. …………………7分
綜上, 方程②有兩個不相等的實數(shù)根.
（海淀一模）
3、 解: （1）DF= EF. …………………………………………………1分
（2）猜想：DF= FE.
證明：過點D作DG⊥AB于G, 則∠DGB=90°.
∵ DA=DB, ∠ADB=60°.
∴ AG=BG, △DBA是等邊三角形.
∴ DB=BA.
∵ ∠ACB=90° , ∠ABC=30°,
∴ AC=
AB=BG. …………………………………………………………2分
∴ △DBG≌△BAC.
∴ DG=BC. ……………………………………………………3分
∵ BE=EC, ∠BEC=60° ,
∴ △EBC是等邊三角形.
∴ BC=BE, ∠CBE=60°.
∴ DG= BE, ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .
∵ ∠DFG =∠EFB, ∠DGF =∠EBF,
∴ △DFG≌△EFB.
∴ DF= EF. ……………………………………………………4分
（3）猜想：DF= FE.
證法一：過點D作DH⊥AB于H, 連接HC, HE, HE交CB于K, 則∠DHB=90°.
∵ DA=DB,
∴ AH=BH, ∠1=∠HDB.
∵ ∠ACB=90°,
∴ HC=HB.
∵ EB=EC, HE=HE,
∴ △HBE≌△HCE. ……………………………5分
∴ ∠2=∠3, ∠4=∠BEH.
∴ HK⊥BC.
∴ ∠BKE=90°. ……………………………6分
∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC,
∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°，
∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.
∴ DB//HE, DH//BE.
∴ 四邊形DHEB是平行四邊形.
∴ DF=EF. ………………………………………………………………………7分
證法二：分別過點D、E作DH⊥AB于H, EK⊥BC于K, 連接HK, 則
∠DHB=∠EKB=90°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ EK//AC.
∵ DA=DB, EB=EC,
∴ AH=BH, ∠1=∠HDB,
CK=BK, ∠2=∠BEK.
∴ HK//AC.
∴ 點H、K、E在同一條直線上. …………………5分
下同證法一.
（海淀一模）4、解:（1）依題意, 設(shè)所求拋物線的解析式為
, 則
………………1分
∴ 所求拋物線的解析式為 
. ……………………………………2分
由
, 解得x1=4, x2= -3.
∴ D(4, 0). …………………………………………………………………………3分
（2）如圖, 過點C作CN⊥x軸于N, 過點E、B分別
作x軸、y軸的垂線，兩線交于點M.
∴ ∠M=∠CNE=90°.
設(shè)E(a, 0), EB=EC.
∴ BM2+EM2= CN2+EN2.
∴ 
.
解得 a=-1.
∴ E( -1, 0). ……………………………4分
（3）可求得直線BC的解析式為y=-x+5.
從而直線BC與x軸的交點為H(5, 0).
如圖，根據(jù)軸對稱性可知S△E ¢FG=S△EFG,
當(dāng)點E¢在BC上時，點F是BE的中點.
∵ FG//BC,
∴ △EFP∽△EBH.
可證 EP=PH.
∵ E(-1,0), H(5, 0),
∴ P(2, 0). ……………………………5分
( i ) 如圖, 分別過點B、C作BK⊥ED于K,
CJ⊥ED于J ,
則
.
當(dāng)-1< x £2時，
∵ PF//BC,
∴ △EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC.
∴ 
, 
∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0),
∴ EP=x+1, EH=6.
∴ 
. …………………6分
( ii ) 如圖，當(dāng)2< x £4時, 在x軸上截取一點Q, 使得PQ=HP, 過點Q作
QM//FG, 分別交EB、EC于M、N.
可證S=S四邊形MNGF, △ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC.
∴ 
, 
∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0),
∴ EH=6，PQ=PH=5-x, EP=x+1,
EQ=6-2(5-x)=2x-4.
∴
……………7分
同（i）可得 
，
∴ 
.…………8分
綜上，
（東城一模）5、（1）證明： 
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根�！撤�
（2）
∵方程有兩個整數(shù)根，必須使
且m為整數(shù)．
又∵12＜m＜40，
∴ 5＜
＜9．
∴m=24……７分
（東城一模）6
、解：(1)過點B作
，垂足為D，
∵
∴
又∵
∴△
≌△
,
∴
=
=1，
=
=2；
∴點B的坐標(biāo)為（-3，1）； …………… 2分
（2）拋物線經(jīng)過點B(-3,1)，則得到
，
解得
，∴拋物線解析式為
； ………………3分
（3）方法一：①若以AC為直角邊，點C為直角頂點；
則可以設(shè)直線ＢＣ交拋物線于點
，
由題意，直線ＢＣ的解析式為：
，
解得
∴P1（1，-1）．………４分
②若以AC為直角邊，點A為直角頂點；
則過點Ａ作ＡＦ∥ＢＣ，交拋物線于點
，
由題意，直線ＡＦ的解析式為
綜上所述，在拋物線上存在點
使△ACP是以AC為直角邊的等腰直角三角形。
方法二：①若以AC為直角邊，點C為直角頂點；
則延長
至點，使得
，得到等腰直角三角形△
，過點作
,
∵
1=
，
，
；∴△
≌△
∴
=
=2, ∴
=
=1, 可求得點P1（1，-1）；…………………4分
經(jīng)檢驗點P1（1，-1）在拋物線上，使得△是等腰直角三角形；
………………… 5分
②若以AC為直角邊，點A為直角頂點；則過點A作
,且使得
,
得到等腰直角三角形△
,過點P2作
，同理可證△
≌△；
∴
==2, 
== 1, 可求得點（2，1）；……………… 6分
經(jīng)檢驗點（2，1）也在拋物線上，使得△也是等腰直角三角形．
………………7分
（東城一模）7、解：（１）ＡＣ過圓心Ｏ，且m,n分別切⊙O于點A,C
(2)連接OA
∴△AEC∽△PAQ．
①
同理可得：
②
①+②，得
（房山一模）8、（1）證明：△＝
＝
＝
＝
≥0
------------1分
∴方程必有兩個實數(shù)根 -------------2分
（2）用求根公式解出
，-------3分
∴=
∴
----------4分
（3）∵方程只有整數(shù)根且k是小于0 的整數(shù)
∴k＝-1 ----------5分
∴
＝-x2-2x-1
=x-1
----------------6分
在坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象，由圖象可知：當(dāng)-3<x<0時， >.---------7分
（房山一模）9、解：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x＝
∴－
∴a＝1， ----------------------------1分
∵拋物線向右平移一個單位過坐標(biāo)原點（0，0），∴原拋物線過點（－1，0）
∴c＝－2
∴拋物線的解析式為 
---------------------------2分
（2）∵OC＝OB＝2，線段BC的垂直平分線為直線y=－x
∵拋物線的對稱軸為直線x=
∴△ABC外接圓⊙D的圓心D（，－）
----------------------3分
∵∠ABC＝45°，∴∠ADC＝90°
∵AC＝
,
∴AD=
，即△ABC外接圓半徑為-----4分
（3）
∵S=
，=6，
∴S△ACM=6 ----------5分
過點M作EF∥AC交x軸于E，交y軸于F，
A（－1，0），B（2，0），C（0，－2）
∴直線EF的解析式為：
------------------------6分
設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,
)
∵M(x,)在直線EF上
∴=
+10,∴ 
，
∴在拋物線上存在點M使得S△ACM=,且M1（3，4），M2（-4，18）.----------7分
（房山一模）10、 解：（1）DF=BF且DF⊥BF.-----------------1分
證明：如圖1：
∵∠ABC＝∠ADE=，AB= BC，AD=DE
∴ ∠CDE=，∠AED=∠ACB=45°
∵F為CE的中點
∴ DF=EF=CF=BF，
∴ DF=BF； ------------------2分
∴ ∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，
∴∠EGF＋∠CGF＝2∠DCB=90°， 圖1
即：∠DFB＝，
∴DF⊥BF. -------------------3分
(2)仍然成立.
證明：如圖2，延長DF交BC于點G，
∵∠ABC＝∠ADE=
∴ DE∥BC，
∴∠DEF=∠GCF，
又∵ EF=CF，∠DFE=∠GFC
∴ △DEF≌△GCF，∴DE=CG，DF=FG-----------4分
∵AD=DE，AB=BC，∴AD=CG
∴ BD＝BG ---------------5分
又∵∠ABC＝
圖2
∴ EG=CG且EG⊥CG. ---------------6分
(3)仍然成立.
證明：如圖3，延長BF至點G，使FG＝BF，聯(lián)結(jié)DB、DG，GE
∵EF=CF, ∠EFG=∠CFB
∴ △EFG≌△CFB，
∴ EG=CB，∠EGF＝∠CBF，
∴EG∥CB，
∵AB= BC，AB⊥CB,∴ EG=AB，EG⊥AB，
∵∠ADE=90°，EG⊥AB
∴∠DAB=∠DGE
∴ △DAB≌△DEG，
∴ DG=DB, ∠ADB=∠EDG -----------------7分
∴∠BDG=∠ADE=90° 圖3
∴△BGD為等腰直角三角形，
∴ DF=BF且DF⊥BF. ----------------8分
（門頭溝一模）11、（1）證明：令
．
得△=
=
2009年浙江省寧�？h知恩中學(xué)高三最后適應(yīng)性考試
理科綜合 2009.04
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分300分�？荚嚂r間150分鐘。
第I卷（選擇題，共21題，共126分）
2009屆晉州一中高三理綜最后模擬（物理部分）
廣東省華南師大附中2007―2008學(xué)年度高三綜合測試（四）
數(shù)學(xué)試題（理科）
本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號填寫在答題卡的密封線內(nèi)。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在別發(fā)的答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效。
4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷和答題卡一并收回。
參考公式：
球的表面積公式
年度高三綜合測試（四）數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image004.gif)
， 其中R表示球的半徑
球的體積公式 年度高三綜合測試（四）數(shù)學(xué)試題（理科）.files/image006.gif)
，其中R表示球的半徑
第一部分（選擇題，共40分）
山東省淄博市2008―2009學(xué)年度高三檢測題
語文試題
本試卷分第1卷和第Ⅱ卷兩部分。滿分150分�？荚囉脮r150分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必用0．5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考號填寫在答題卡
和試題卷規(guī)定的位置上。
2．第1卷每小題選出答案后。用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需
改動。用橡皮擦干凈后。再選涂其他答案標(biāo)號。答案不能答在試題卷上。 ，
3．第Ⅱ卷必須用O．5毫米黑色簽字筆作答。答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域
內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。
4．第Ⅱ卷第六題為選做題�？忌殢乃o（一）（二）兩題中任選一題作答，不能全選。
第1卷（選擇題共36分）
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