一元二次方程專題復(fù)習(xí)（一）

【課標(biāo)要求】

1. 了解一元二次方程的定義及一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0(a≠0).

2. 掌握一元二次方程的四種解法，并能靈活運(yùn)用.

3. 掌握一元二次方程根的判別式，并能運(yùn)用它解相應(yīng)問題.

4. 掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，會(huì)用它們解決有關(guān)問題.

5. 會(huì)解一元二次方程應(yīng)用題.

【知識(shí)梳理】

1．靈活運(yùn)用四種解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a²x+bx+c=0(a≠0)

    四種解法：直接開平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：

     x= (b²-4ac≥0)

    注意：掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo)；主要數(shù)學(xué)方法有：配方法，換元法，“消元”與“降次”。

   2．根的判別式及應(yīng)用(△=b²-4ac)：

    (1)判定一元二次方程根的情況。

    (2)確定字母的值或取值范圍。

    3．根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)的應(yīng)用：韋達(dá)定理:如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的兩根為x₁、x₂，則x₁+x₂=―，x_1?x₂=。

    (1)已知一根求另一根及未知系數(shù)；

    (2)求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值；

    (3)已知兩根求作方程；

    (4)已知兩數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)；

    (5)確定根的符號:(x₁，x₂是方程兩根)。

    應(yīng)用韋達(dá)定理時(shí)，要確保一元二次方程有根，即一定要判斷根的判別式是否非負(fù);求作一元二次方程時(shí)，一般把求作方程的二次項(xiàng)系數(shù)設(shè)為1，即以x₁、x₂為根的一元二次方程為x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0;求字母系數(shù)的值時(shí)，需使二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，同時(shí)滿足△≥0;求代數(shù)式的值，常用整體思想，把所求代數(shù)式變形成為含有兩根之和x₁+x₂，兩根之積x₁x₂的代數(shù)式的形式，整體代入。

   4．一元二次方程的應(yīng)用：解應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程。最后還要注意求出的未知數(shù)的值，是否符合實(shí)際意義。

【中考主要考點(diǎn)】

①利用一元二次方程的意義解決問題

 ②用整體思想對復(fù)雜的高次方程或分式方程進(jìn)行變形（換元法）

③考查配方法（主要結(jié)合函數(shù)的頂點(diǎn)式來研究）

④一元二次方程的解法

⑤一元二次方程根的近似值

⑥建立一元二次方程模型解決問題

⑦利用根的判別式求方程中的字母系數(shù)的值和利用根與系數(shù)關(guān)系求代數(shù)式的值

 ⑧與一元二次方程相關(guān)的探索或說理題

⑨與其他知識(shí)結(jié)合，綜合解決問題

一元二次方程的定義、解法

Ø      要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦

1. 加深理解一元二次方程的有關(guān)概念及一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0 (a≠0)

2.熟練地應(yīng)用不同的方法解方程；直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法；并體會(huì)“降冪法”在解方程中的含義.（其中配方法很重要）

Ø      課前熱身

1. 當(dāng)a__________時(shí)，方程ax²＋3x＋1＝0是一元二次方程.

2. 已知x=1是方程x²+ax+2=0的一個(gè)根，則方程的另一根為__________.

3.一元二次方程x(x-1)=x的解是_____________.

4. 若關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)，且a+b+c=0，則方程必有一根為_______.

5. 用配方法解方程x²-4x+2=0,則下列配方正確的是(    )

A  (x-2)²=2     B  (x+2)²=2     C  (x-2)²=-2     D  (x-2)²=6

Ø      典型例題解析

1、關(guān)于x的一元二次方程(ax－1)(ax－2) ＝x²－2x＋6中，求a的取值范圍___________.       

2、已知：關(guān)于x的方程x²－6x＋m²－3m－5＝0的一個(gè)根是－1，求方程的另一個(gè)根及m的值。

 

 

 

 

3、用配方法解方程2x²-x-1=0

 

 

 

 

 

【課時(shí)訓(xùn)練】

1、關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，則的值為（   ）

A、           B、           C、或         D、

2、解方程的最適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?nbsp;   ）

A. 直接開平方法    B. 配方法       C. 因式分解法                   D. 公式法

3、若a－b＋c＝0，則一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有一根是（   ）

    A. 2             B. 1             C. 0                  D. －1

4、k____________時(shí)，(k²－9)x²＋(k－5)x－3＝0不是關(guān)于x的一元二次方程.

5、已知方程，則代數(shù)式_________.

6、解下列方程：

（1）(x－1)²＝4             (2)x²－2x－3＝0                 (3)2t²－7t－4＝0（用配方法）

 

 

 

 

一元二次方程根的判別式

Ø      要點(diǎn)、考點(diǎn)聚焦

1.一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的情況：

(1)當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

(3)當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

2.一元二次方程根的判別式的性質(zhì)反用也成立，即已知根的情況，可以得到一個(gè)等式或不等式，從而確定系數(shù)的值或取值范圍．

Ø      課前熱身

1.(2008年?西寧市)若關(guān)于x的一元二次方程mx²-2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是                               (      )

     A.m＜1                      B. m＜1且m≠0

     C.m≤1                      D. m≤1且m≠0

2. (2008年?南通市)若關(guān)于x的方程x²+(2k-1)x+k²-=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k=          .

3.( 2007巴中市）一元二次方程的根的情況為（　�。�

A. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根    B. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根     D. 沒有實(shí)數(shù)根

4、(2007湖北天門）已知關(guān)于x的一元二次方程x²＋4x＋m－1＝0。請你為m選取一個(gè)合適的整數(shù)，當(dāng)m=________時(shí)，使得到的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

Ø      典型例題解析

【例1】  已知關(guān)于x的方程(m-2)x²-2(m-1)x+m+1=0，當(dāng)m為何非負(fù)整數(shù)時(shí)：

(1)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

【例2】 已知a，b，c是三角形的三條邊，

求證：關(guān)于x的方程b²x²＋(b²＋c²－a²)x＋c²＝0沒有實(shí)數(shù)根

【課時(shí)訓(xùn)練】

1、（2007巴中市）一元二次方程的根的情況為（　�。�

A. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根             B. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根                    D. 沒有實(shí)數(shù)根

2、（2007安徽蕪湖）已知關(guān)于x 的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（     ）

A. m＞－1         B.  m＜－2       C. m ≥0          D. m＜0

3、一元二次方程（1－k）x²－2x－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是________.                                                       

4、求證：關(guān)于x的方程x²＋(2k＋1)x＋k－1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

 

 

 

 

 

 

 

 

  中考試題來做

一、填空題

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二、選擇題

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三、解答題

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