1.  圓內接四邊形ABCD，現有一圓其圓心在邊AB上并于其他三邊相切，求證AD + BC = AB.

2. 設 k<n 時互素的兩個正整數。將集合M = {1, 2, 3, ... , n-1} 中的每個數都染成藍色或白色，保證 i和n-i的顏色相同，對于不等于k的i其顏色又與|i-k|的顏色相同。求證：M中所有數的顏色都相同。

3.  P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_kx^k 是整系數多項式，設其中系數為奇數的個數為o(P)。對于i = 0, 1, 2, ... ，記 Q_i(x) = (1 + x)ⁱ。求證如果i₁, i₂, ... , i_n都是整數并滿足0 <= i₁ < i₂ < ... < i_n，則有

o(Q_i1 + Q_i2 + ... + Q_in) >= o(Q_i1).

4.  集合M由 1985個不同的正整數組成，且每個數都有一個大于23的素因子，求證M中存在4個元素的積是某個整數的4次方。

5.  圓心為O的一個圓經過三角形ABC的頂點A和C，并與AB,BC分別交于不同的兩點K、N，三角形ABC的外接圓和三角形KBN的外接圓相交于兩個不同的點B、M，求證角OMB是直角。

6.  對于任何一個實數 x₁，可通過遞推式

x_n+1 = x_n(x_n + 1/n)

 構造序列 x₁, x₂, ...，求證存在唯一的一個x₁ 滿足對所有的n都有 0 < x_n < x_n+1 < 1 成立。

試題詳情

1.  求證 0 <= yz + zx + xy - 2xyz <= 7/27, 其中x, y， z 是非負實數并滿足x + y + z = 1.

2.  試找出所有的正整數對（a,b）滿足 ab(a+b)不能被 7 整除, 但 (a+b)⁷ - a⁷ - b⁷ 可被7⁷整除。

3.  給定平面上的點O、A。平面上的每個點都被染色成有限種顏色中的一個。設X是平面上一給定點，以O為圓心的圓C(X)的半徑是 OX + (∠ AOX)/OX，其中角∠ AOX是用弧度衡量（即范圍是[0, 2л)），求證能夠找到不在OA上的一點X使得它的顏色出現在圓C(X)的圓周上。

4.  凸四邊形ABCD的邊CD與以AB為直徑的圓相切，求證：AB與以CD為直徑的圓相且當且僅當BC和AD是平行的。

5.  設 d 是平面上一凸 n 邊形（n>3）的所有對角線的長度之和，p 是它的周長。求證:

 n - 3 < 2d/p < [n/2] [(n+1)/2] - 2,

其中[x]表示不超過x的最大整數。

6. 0 < a < b < c < d 是四個奇數且 ad = bc. 若a + d = 2^k 及 b + c = 2^m 對某k、m成立,則

a = 1.

試題詳情

1.  試找出所有定義在正實數并取值正實數的函數 f，使其滿足 f(x(f(y)) = yf(x)對所有x, y成立，并且當 x 趨向于無窮大時 f(x) 趨向于0.

2.  圓C₁、C₂ 的圓心分別是O₁ 、O_2，它們相交于兩個不同的點，設A是其中一個交點。這兩個圓的一條公切線切C₁、 C₂ 分別于點 P_1、P₂，另外一條公切線分別切C₁、 C₂ 于點 Q_1、Q₂，再設M₁、M₂分別是P₁Q₁和P₂Q₂的中點，求證：角O₁AO₂ = 角 M₁AM₂。

3.  a , b, c是正整數，并且它們中的任何兩個都沒有大于1的公約數。求證 2abc - ab - bc - ca 是不能表示成形式xbc + yca + zab的最大整數，其中x, y, z是非負整數。

4.  等邊三角形ABC，設集合E是該三角形的所有邊界點（即邊AB,BC,CA），任意將E分拆成兩個不相交的子集合（它們的并集是E），試證明這兩個集合中的至少一個包含有三點構成一直角三角形。

5.  問是否可能存在小于或等于10⁵的1983個不同的正整數，任何三個都不構成一等茶數列。

6. 設a,b,c是一個三角形的三邊長，求證

a²b(a - b) + b²c(b - c) + c²a(c - a) >= 0.

并判斷何時等號成立。

試題詳情

1.  f(n)是定義在正整數上且取值為非負整數的函數，f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333，并對所有m,n有f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 或 1。試求出f(1982)。

2.  A₁A₂A₃是不等腰三角形，其三邊為a₁, a₂, a₃ ，其中a_i 是角 A_i的對邊， 設 M_i 是邊 a_i 的中點，T_i是三角形的內切圓在邊 a_i上的切點，記S_i為點 T_i 關于內角A_i的角平分線的對稱點，求證線M₁S₁, M₂S₂ 和M₃S₃共點。

3.  考慮無限正實數序列 {x_n} 滿足x₀ = 1 及 x₀ >= x₁ >= x₂ >= ... ，

x₀²/x₁ + x₁²/x₂ + ... + x_n-1²/x_n >= 3.999.

b.    試尋找一個這樣的序列使其滿足

 x₀²/x₁ + x₁²/x₂ + ... + x_n-1²/x_n < 4   對所有n成立。

4.  n使正整數，求證如果方程 x³ - 3xy² + y³ = n有關于整數x,y的一個解，則其至少有三個解；當n=2891時再證明這個方程無整數解。

5.  正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE上分別有分點M、N并且 AM/AC = CN/CE = r，如果B、M、N共線，試求r的值。

6.  設S是邊長為100的正方形，L是在S內部不自交的系列線段A₀A₁, A₁A₂, A₂A₃, ... , A_n-1A_n 并且A₀ 與 A_n不重合。已知對于每一個在S邊界上的點P，L中存在一個點與P之間的距離不大于1/2。求證：L中存在兩點X、Y，X與Y的距離不大于1，并且L上位于X和Y之間的部分不少于198。

試題詳情

1.  P是三角形ABC內部一點，D、E、F分別是從P點向邊BC、CA、AB所引垂線的垂足。試找出 BC/PD + CA/PE + AB/PF 式達到最小值的所有P點。

2.  取r滿足1 <= r <= n，并考慮集合{1, 2, ... , n}的所有r元子集，每個子集都有一個最小元素。設F(n,r)是所有這些最小元素的算術平均值。求證：F(n,r) = (n+1)/(r+1)。

3.  設m、n是屬于{1, 2, ... , 1981}的整數并且滿足(n² - mn - m²)² = 1。試計算m² + n²的最大值。

4. 設 n>2，問

5. 三個都通過點O的等半徑的圓位于一個給定三角形的內部，并且每個圓都相切于這個三角形的兩條邊。求證：這個三角形的內心、外心、O點三點共線。

6. 函數f(x,y)，對于任何非負整數x,y都滿足f(0,y) = y + 1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))。試計算f(4, 1981)的值。

試題詳情

1. m,n是滿足下述條件的正整數:

m/n = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... - 1/1318 + 1/1319.

求證：m可被1979整除。

2.  一個棱柱的上底和下底分別是正五邊形A₁A₂A₃A₄A_5、B₁B₂B₃B₄B₅ 。這兩個正五邊形的每條邊以及每個 A_iB_j邊都被染上紅色或藍色。又已知每個邊都被著色的三角形（其頂點即這個棱柱的頂點）必有兩邊著不同色，求證：上、下底的十條邊都被染上了同一種顏色。

3.  平面上的兩個圓相交，A是其中一個交點�，F有兩質點同時從A出發(fā)各自以恒定的速度，同以順時針方向或同以逆時針方向繞各自的圓移動，在繞過一周之后這兩點又同時回到了A點。求證：在這個平面上一定存在某個固定的點P使得在任意時刻P點都與這兩動點的距離相等。

4. 給定一平面k，在這個平面上有一點P，平面外有一點Q，試找出平面k上的所有的點R使得(QP + PR)/QR 為最大值。

5.  試求出所有的實數a，使得存在非負實數x₁, x₂, x₃, x₄, x₅滿足下列關系式：

x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 4x₄ + 5x₅ = a；

x₁ + 2³x₂ + 3³x₃ + 4³x₄ + 5³x₅ = a²；

x₁ + 2⁵x₂ + 3⁵x₃ + 4⁵x₄ + 5⁵x₅ = a³。

6.  令A、E是一個正八邊形的兩相對頂點，一只青蛙從A點開始跳動，除了E點外，從八邊形中的其他每一個頂點都可以跳至與它相鄰兩頂點中的任何一個。當它跳到E點時就停止運動。設 a_n 為恰好經過 n步跳動以后到達E點的所有可能線路的個數，求證：

      a_2n-1 = 0
      a_2n = (2 + √2)^n-1/√2 - (2 - √2)^n-1/√2。

試題詳情

1.  m、n都是正整數且n>m。如果1978^m 和1978ⁿ的十進制表示法的末三位數字相同，試求滿足此條件并使m+n達到最小的m與n。

2.  P是某已知球內部一點，A、B、C是球面上三點，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC決定的平行六面體與P點對角相向的頂點為Q，試求出Q點的軌跡。

3.  兩不交集合{f(1), f(2), f(3), ... }和{g(1), g(2), g(3), ... }的并集是全部的正整數，其中f(1) < f(2) < f(3) < ...，g(1) < g(2) < g(3) < ... ,且有g(n) = f(f(n)) + 1對所有n=1,2,3, ...成立。試計算f(240)。

4.  等腰三角形ABC，AB = AC。在三角形ABC的外接圓的內部有一與其相切的一個小圓，該小圓又分別與AB、AC相切于P、Q兩點。求證：線段PQ的中點恰為三角形ABC內切圓的圓心。

5. 令{a_k} 為互不相同的正整數數列，求證對于所有的正整數n，有

∑a_k/k² >=　∑1/k；

上式中兩邊的求和都是k從1到n。

6. 某國際組織共有來自六個國家的共1978名會員，會員編號分別是1,2,...,1978。求證至少有某一會員的編號，恰為與他同國家的另外兩位會員編號的和，或者是他同國家的兩外一名會員編號的兩倍。

試題詳情

1.  求證(21n+4)/(14n+3) 對每個自然數 n都是最簡分數。

2.  設√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，試在以下3種情況下分別求出x的實數解： 

(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a、b、c都是實數，已知 cos x的二次方程

a cos²x + b cos x + c = 0,

試用a,b,c作出一個關于 cos 2x的二次方程，使它的根與原來的方程一樣。當a=4,b=2,c=-1時比較 cos x和cos 2x的方程式。

4.  試作一直角三角形使其斜邊為已知的 c，斜邊上的中線是兩直角邊的幾何平均值。

5.  在線段AB上任意選取一點M，在AB的同一側分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，這兩個正方形的外接圓的圓心分別是P、Q，設這兩個外接圓又交于M、N，

    (a.) 求證 AF、BC相交于N點；

   （b.) 求證 不論點M如何選取 直線MN 都通過一定點 S；

    (c.) 當M在A與B之間變動時，求線斷 PQ的中點的軌跡。

6.  兩個平面P、Q交于一線p，A為p上給定一點，C為Q上給定一點，并且這兩點都不在直線p上。試作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一個內切圓，并且頂點B、D分別落在平面P和Q上。

試題詳情

1.  在正方形ABCD中作等邊三角形ABK、BCL、CDM、DAN，證明線段KL、LM、MN、NK的四個中點以及線段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八個中點構成一個正十二邊形的定點。

2. 在一個有限項的實數序列中，任意的相連七項之和為負，任意的相連十一項之和為正。求出這種序列最多有幾項。

3.  n>2是一給定整數，V_n 是所有1+kn形式的整數構成的集合，其中k是正整數，對于V_n 中的一個數m，如果不存在V_n 中的兩個數p、q使得m=pq，則稱m是不可分解的。求證：V_n 中存在一數r，它可有多于一種的方式表示為V_n 中不可分解數的乘積。（乘積中若僅僅是因數的順序不同則視為是同一種分解。）

4. 定義f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x，其中a,b,A,B都是實數常量。如果f(x)>=0對所有實數x都成立，求證

a² + b² <= 2 且 A² + B² <= 1.

5.  a,b是正整數，設a² + b²除以a + b得到商為q，余數是r。試求出所有的正整數對（a,b）使得q² + r = 1977。

6.  f是定義在所有正整數上且取值也是正整數的函數，求證如果f(n+1) > f(f(n))對所有正整數n都成立，則f(n) = n對每個n都成立。

試題詳情

1.  平面上一凸四邊形的面積是32，兩對邊與一對角線之和為16，求另外一個對角線的所有可能的長度。

2. 令P₁(x) = x² - 2, P_i+1 = P₁(P_i(x)), i = 1, 2, 3, ...，求證對任何一個正整數n，方程式P_n(x) = x 的所有根都是互不相同的實數。

3. 一個長方形的箱子可以用單位正方體完全裝滿，如果用體積為2的正方體來盡量裝填，使得每個邊都與箱子的邊平行，則恰能裝滿箱子的40％，求所有這種箱子的可能尺寸（長、寬、高）。

4.  試將1976分解成一些正整數之和，求這些正整數乘積的最大值，并加以證明。

5.  n是一個正整數，m = 2n， a_ij = 0、1或-1 （1 <= i <= n, 1 <= j <= m）。還有m個未知數x₁, x₂, ... , x_m滿足下面n個方程：

a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_imx_m = 0,

其中i = 1, 2, ... , n。求證這n個方程有一組不全為0的整數解（x₁, x₂, ... , x_m）使得|x_i|<= m。

6.  一個序列u₀, u₁, u₂, ... 定義為：

u₀= 2, u₁ = 5/2, u_n+1 = u_n(u_n-1² - 2) - u₁，n = 1, 2, ...

求證

[u_n] = 2^{(2n - (-1)n)/3},

其中[x]表示不大于x的最大整數。

試題詳情