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專題五《線段、角與三角形》
●中考點(diǎn)擊
考點(diǎn)分析：
內(nèi)容
要求
1、直線、線段、射線的概念，線段中點(diǎn)的概念及應(yīng)用
Ⅰ
2、角平分線、線段的垂直平分線、平行線的性質(zhì)
Ⅱ
3、余角、補(bǔ)角、鄰補(bǔ)角的概念，進(jìn)行角度換算
Ⅰ
4、平行線的概念、性質(zhì)及判定，兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)到直線的距離
Ⅱ
5、三角形的有關(guān)概念，三角形中線的性質(zhì)及運(yùn)用
Ⅰ
6、全等三角形的概念、性質(zhì)及判定
Ⅱ
7、等腰三角形、直角三角形、等邊三角形的概念、性質(zhì)及判定
Ⅱ
8、利用勾股定理及其逆定理解決簡(jiǎn)問題
Ⅰ
命題預(yù)測(cè)：從近兩年全國(guó)課改實(shí)驗(yàn)區(qū)和非課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題分析，直線型這部分內(nèi)容是平面幾何的起始內(nèi)容，概念比較集中，中考對(duì)這部分內(nèi)容的考查以概念為主，主要考查同學(xué)們對(duì)幾何概念的認(rèn)識(shí)和理解程度.這類中考題常以填空題和選擇題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)可采用概念辨析法來(lái)提高解題的速度與質(zhì)量．
三角形的知識(shí)歷年中考均有涉及，主要考查基本概念及簡(jiǎn)單應(yīng)用，題型常以填空題、選擇題、解答題等形式出現(xiàn)，分值一般在4％－6％之間．近年來(lái)有部分地區(qū)又出現(xiàn)了一些探索、開放型題目，意在考查學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用能力和創(chuàng)新能力，其中值得注意的網(wǎng)格中的三角形問題．
2007年中考，將繼續(xù)考查線段的中點(diǎn)的概念及應(yīng)用，對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角的性質(zhì)及應(yīng)用．繼續(xù)考查垂線、線段的垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，進(jìn)一步突出平行線性質(zhì)與判定方法的綜合應(yīng)用．三角形全等的性質(zhì)和判定，等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定．
●難點(diǎn)透視
例1下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線
B．
是直線
外一點(diǎn)，
，
，
分別是上的三點(diǎn)，已知
，
，
，則點(diǎn)到的距離一定是1
C．相等的角是對(duì)頂角
D．鈍角的補(bǔ)角一定是銳角
【考點(diǎn)要求】本題考查對(duì)線與角的基本概念的掌握。
【思路點(diǎn)撥】四個(gè)選擇支分別給出了四個(gè)不同說(shuō)法，需要用角平分線、點(diǎn)到直線的距離、對(duì)頂角和鈍角、銳角、補(bǔ)角的有關(guān)概念做出判斷．
一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角，這兩個(gè)角不一定相等，A錯(cuò)；
不一定是點(diǎn)到的距離，所以B錯(cuò)；相等的角也不一定是對(duì)頂角，故C也錯(cuò)．
【答案】選D．
【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生沒有充分題解距離的意義，容易錯(cuò)誤認(rèn)地為B是正確答案。突破方法：結(jié)合圖形進(jìn)行判斷，線段PA雖然是最短的，但不一定與直線垂直，因此不可稱作距離。
解題關(guān)鍵：正確理解直線外一點(diǎn)到直線的距離是過這點(diǎn)所作直線的垂線段的長(zhǎng)度。
例2如圖5-1，AB、CD、EF相交于O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，則∠AOG的度數(shù)為（ ）
A．56° B．59° C．60° D．62°
【解析】本題考查通過相交線、垂線、角平分線的組合圖形來(lái)檢查同學(xué)們觀察、分析圖形的能力．
因?yàn)椤螰OD與∠COE是對(duì)頂角，所以∠COE=28°，又AB⊥CD，所以∠COE＋∠EOB=90°，故∠EOB=62°.由＋∠AOE=180°，有∠AOE=118°.因?yàn)镺G平分∠AOE，所以∠AOG=59°．
【答案】選B。
本題的突破方法：要抓住OG平分∠AOE，所以要求∠AOG的度數(shù)，只要能求出∠AOE的度數(shù)即可。
例3如圖5-2，已知BC=CD=DE=EA,∠A=20°,那么∠B的度數(shù)是
度。
【考點(diǎn)要求】本題考查等腰三角形基本性質(zhì)及等邊三角形的判定等知識(shí)的運(yùn)用。
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可依次求得∠EDA=20°，∠DEC=40°，∠DCE=40°，∠BDC=60°，又BC=CD，所以△BCD是等邊三角形。
【答案】∠B的度數(shù)是60度。
【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生在第二次使用“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”求∠BDC時(shí)，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤求得∠BDC=80度。突破方法：看清每一個(gè)外角是哪個(gè)三角形的外角�！螧DC是△ACD的外角，所以與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角分別等于20度、40度。
例4如圖5-3，△ADF和△BCE中，∠A=∠B，點(diǎn)D、E、F、C在同―直線上，有如下三個(gè)關(guān)系式：① AD=BC；② DE=CF；③BE∥AF。
（1）請(qǐng)用其中兩個(gè)關(guān)系式作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，寫出所有你認(rèn)為正確的命題．（用序號(hào)寫出命題書寫形式，如：如果
、，那么）
（2）選擇（1）中你寫出的―個(gè)命題，說(shuō)明它正確的理由．
【考點(diǎn)要求】本題考查的是全全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用。
【思路點(diǎn)撥】這是一種開放性的問題，不拘于某種固定的答案，其特點(diǎn)是靈活性較強(qiáng)，能較好地考查學(xué)生的思維組織及對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用程度。（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①；（2）可根據(jù)角角邊、角邊角進(jìn)行證明。
【答案】如果①，③，那么②；證明略。
【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生對(duì)三角形全等的判定方法掌握不夠到位，會(huì)錯(cuò)寫成“如果①，②，那么③”的形式。突破方法：在證明三角形全等問題時(shí)，要盡量避開出現(xiàn)“邊邊角”條件的情況。
例5我們來(lái)探究 “雪花曲線”的有關(guān)問題：圖5-4中的圖（1）是邊長(zhǎng)為1的正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其兩腰代替底邊,得到第二個(gè)圖形如圖5-4中的圖（2）；再將圖5-4中的圖（2）的每條邊三等分，并重復(fù)上述的作法，得到第三個(gè)圖形如圖5-4中的圖（3）；如此繼續(xù)下去，得到的第五個(gè)圖形的周長(zhǎng)應(yīng)等于（ ）
A．3 B．
C．
D．
【考點(diǎn)要求】本題是一道和三角形的周長(zhǎng)有關(guān)的探索型問題．
【思路點(diǎn)撥】從圖形我們可以觀察到從第一個(gè)圖形開始，每進(jìn)行一次操作，所得到的圖形的周長(zhǎng)是原來(lái)圖形周長(zhǎng)的
倍，所以第二個(gè)圖形的周長(zhǎng)為
；第三個(gè)圖形的周長(zhǎng)為
；第四個(gè)圖形的面積為
；第五個(gè)圖形的面積為
．
【答案】選B．
【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生無(wú)法找出其中的變化規(guī)律，想通過逐個(gè)計(jì)算的方法求解，此方法較為繁雜從而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。突破方法：從前一個(gè)三角形到后一個(gè)三角的每邊長(zhǎng)發(fā)生的變化進(jìn)行分析，找出變化規(guī)律，而整個(gè)周長(zhǎng)的變化也具有相同規(guī)律。
解題關(guān)鍵：本題作為規(guī)律探索題，可用公式表示結(jié)果，如第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)應(yīng)等于
。
例6已知：如圖5-6，圓O是△ABC的外接圓，圓心O在這個(gè)三角形的高CD上，E、F分別是邊AC和BC的中點(diǎn)，求證：四邊形CEDF是菱形.
【考點(diǎn)要求】本題綜合考查了三角形、四邊形及圓的有關(guān)知識(shí)。
，
，
，
，
，
，
，
。
【答案】證明參見思路點(diǎn)撥。
【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生容易根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明CE=DE，CF=BF，但卻不知怎么證明這四條邊相等。突破方法：先要設(shè)法證明△ABC是等腰三角形。
解題關(guān)鍵：本題在等AC=BC時(shí)，除了用全等，也可根據(jù)圓中的垂徑定理進(jìn)行證明。
例7一架長(zhǎng)
，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯子底端距墻底
【考點(diǎn)要求】本題考查勾股定理的應(yīng)用．
【思路點(diǎn)撥】是的．
證明1：
在
中，
米．
米．
在
中，
米．
．即梯子底端也滑動(dòng)了
證明2：
在中，米．
米．
可證
．
所以
米．
．即梯子底端也滑動(dòng)了
梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動(dòng)
【答案】證明參見思路點(diǎn)撥。
【方法點(diǎn)撥】本題突破方法主要就是利用勾股定理進(jìn)行證明，但要注意的是這一結(jié)論并不是對(duì)所有情形都成立，多數(shù)情況下梯子在豎直和水平方向上的滑動(dòng)距離并不相等，關(guān)鍵要看相關(guān)的數(shù)據(jù)。
例8如圖5-7，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.求證：BF=2CF．
【考點(diǎn)要求】本題考查線段的垂直平分線的有關(guān)知識(shí)。
【思路點(diǎn)撥】本題解題關(guān)鍵是輔助線的添加，連結(jié)EF可求解．
因?yàn)镋F是AC的垂直平分線，所以AF=FC。
因?yàn)锳B=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，所以∠BAF=90°，所以AF=
BF，即BF=2AF．
【答案】證明參見思路點(diǎn)撥。
【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生沒有添加輔助線，因而無(wú)法將CF進(jìn)行轉(zhuǎn)化，證明不到BF與CF的關(guān)系。突破方法：在同一直線上的的線段倍數(shù)關(guān)系證明，應(yīng)設(shè)法轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，根據(jù)特殊角的相關(guān)性質(zhì)加以證明。
解題關(guān)鍵：利用垂直平分線的性質(zhì)，作出輔助線AF，將CF轉(zhuǎn)化為AF，再進(jìn)行證明。
例9一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法．如5-8，火柴盒的一個(gè)側(cè)面
倒下到
的位置，連結(jié)
，設(shè)
，請(qǐng)利用四邊形
的面積證明勾股定理：
．
【考點(diǎn)要求】本題考查勾股定理的證明，試題貼近生活，設(shè)計(jì)新穎，操作簡(jiǎn)單，有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力．
【思路點(diǎn)撥】因?yàn)樗倪呅?a >為直角梯形，
所以
而Rt
Rt
，所以
所以
所以
，所以
即．
【答案】證明參見思路點(diǎn)撥。
【方法點(diǎn)撥】部分學(xué)生因未能將四邊形的面積分割成恰當(dāng)?shù)膱D形，從而無(wú)從證明。突破方法：可將四邊形分為三個(gè)三角形，分別計(jì)算面積，而四邊形本身又是一個(gè)直角梯形，也可整體求出其面積，從而建立相等關(guān)系。
● 難點(diǎn)突破方法總結(jié)
在本部分試題中，出現(xiàn)較多容易混淆的概念和性質(zhì)，如直線、射線、線段；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；平角與直線；平行線折判定與性質(zhì)；垂線與垂線段的作圖等。在應(yīng)考時(shí)可利用“比較 ”的思想方法，弄清它們的聯(lián)系與區(qū)別，以防作出錯(cuò)誤推斷。此外，還有以下幾點(diǎn)需要注意。
1.掌握角平分線的性質(zhì)和垂直平分線性質(zhì)，能靈活運(yùn)用它們解決實(shí)際問題。
2.掌握三角形有關(guān)的性質(zhì)、判定與解題方法，如倍長(zhǎng)中線法、構(gòu)造全等三角形法，截長(zhǎng)補(bǔ)短法等是應(yīng)考的前提。
3.加強(qiáng)對(duì)探索題、動(dòng)點(diǎn)問題、創(chuàng)新題的訓(xùn)練與研究，并不斷歸納總結(jié)方法，逐步形成數(shù)學(xué)能力。
3.掌握三角形證明題的解題思路和方法，如分解圖形法，構(gòu)造圖形法，分析法，綜合法，以及數(shù)形結(jié)合法等。
4.注重知識(shí)的歸納總結(jié)，并逐步形成一個(gè)相對(duì)完整的體系，以便于求解綜合題、創(chuàng)新題和開放題。
●拓展演練
一、填空題
1．同一平面內(nèi)有四點(diǎn)，過每?jī)牲c(diǎn)畫一條直線，則直線的條數(shù)是
．
2．如圖，已知
相交于點(diǎn)
，
，
，則
度．
3．如圖所示，光線L照射到平面鏡I上，然后在平面鏡Ⅰ、Ⅱ之間來(lái)回反射,已知∠α=55°,∠γ=75°,則∠β為 ．
4．已知線段AB=
5.如圖，AB//CD，若∠ABE=1200，∠DCE=350，則有∠BEC=__________度．
6．如圖6所示,AB=AD, ∠1=∠2,添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件,使△ABC≌△ADE,則需要添加的條件是_________________________________________________．
7．如圖，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠C=20°，則∠OAD= ．
 |
8．如圖所示，在等腰三角形
中，
，
，那么底邊上的高
cm．
9．如圖，△ABC中，∠B=90º，∠C=30º，AB=1，將△ABC繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)1800，點(diǎn)C落在C′處，則CC′的長(zhǎng)為 ．
10.如圖所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號(hào)依次為①、②、③、④、⑤……，則第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為_____________．
二、選擇題
11．用一副三角板畫角,不能畫出的角的度數(shù)是（ ）
A．15° B．75° C．145° D．165°
12．如圖，以下條件能判定
的是（ �。�
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
13．如圖，已知AB∥CD，則（ ）
Ａ．∠1=∠2＋∠3 B．∠1=2∠2＋∠3
C．∠1=2∠2－∠3 D．∠1=180°－∠2－∠3
14．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點(diǎn)，且BD=BC=AD，則∠A等于（ ）
A．30° B．36°
C．45°
D．72°
15．如圖，
與
均為正三角形，且
，則
與
之間的大小關(guān)系是（ �。�
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．大小關(guān)系不確定
16．下圖是一個(gè)等邊三角形木框，甲蟲
在邊框
上爬行（
，
端點(diǎn)除外），設(shè)甲蟲到另外兩邊的距離之和為
，等邊三角形的高為
，則與的大小關(guān)系是（ �。�
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．無(wú)法確定
17．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是（ ）
A．0 �。拢�1 Ｃ．2 �。模�3
18．一位園藝設(shè)計(jì)師計(jì)劃在一塊形狀為直角三角形且有一個(gè)內(nèi)角為60°的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形狀完全相同的幾何圖形圖案．某同學(xué)為此提供了如圖所示的五種設(shè)計(jì)方案．其中可以滿足園藝設(shè)計(jì)師要求的有（ ）
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
三、解答題
19．如圖，滑桿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，
為直角，已知滑桿
長(zhǎng)在上運(yùn)動(dòng)，量得滑桿下端
距點(diǎn)的距離為向右移動(dòng)下滑多少米？
20．如圖，△是等邊三角形，點(diǎn)
、
、
分別是線段、
、
上的點(diǎn)，
（1）若
，問△
是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論；
（2）若△是等邊三角形，問成立嗎？試證明你的結(jié)論．
●習(xí)題答案
一、填空題
1．1條或4條或6條（提示：分四點(diǎn)共線、三點(diǎn)共線、都不共線三種情形）
2．62（提示：根據(jù)余角和對(duì)頂角知識(shí)解答）
3．65°（提示：根據(jù)入射角等于反射角及三角形內(nèi)角和知識(shí)解答）
4．
5.95（提示：作EF//AB，根據(jù)平行線同旁內(nèi)角及內(nèi)錯(cuò)角等知識(shí)解答）
6．∠B=∠D，或∠C=∠E，或AC=AE，答案不唯一（提示：可根據(jù)ASA、AAS、SAS等方法分析）
7．95°（提示：因?yàn)椤鱋AD≌△OBC，所以∠D=∠C=20°，所以∠OAD=180°－（∠0＋∠D）=95°）
8．6（提示：根據(jù)直角三角形30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半計(jì)算）
9．4（提示：將△ABC繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)1800，點(diǎn)C落在C′處，則AC與AC′在同一直線上，且△AB′C′與△ABC全等，所以CC′=
10.
（提示：本題是一道規(guī)律探索題，由已知圖形可歸納出第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為）
二、選擇題
11．C（提示：用一副三角板可畫出180度以內(nèi)所有15度的整數(shù)倍的角，而145°不是15的整數(shù)倍）
12.C（提示：C根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行判定）
13．A（提示：因?yàn)锳B∥CD，所以∠3=∠ABD，又∠1=∠2+∠ABD，所以∠1=∠2+∠3）
14．B（提示：因?yàn)锳B=AC且BD=BC=AD，設(shè)∠A=x，所以∠A=∠ABD=x，∠BDC=∠BCD=∠ABC=2x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠A＋∠ABC＋∠BCD=180，即x＋2x＋2x=180，解得x=36）
15．A（提示：根據(jù)SAS，容易證明
，所以）
16．C（提示：連結(jié)BP，則有
，因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，根據(jù)等積法，可證得）
17．C（提示：根據(jù)勾股定理，
，
，
）
18．C（提示：要求分成的四個(gè)圖案面積和形狀相同，所以各圖案應(yīng)全等，第二種設(shè)計(jì)不合要求）
三、解答題
19．解：設(shè)
的長(zhǎng)為
米，依題意得
．
，
∴
．
，
∴在
中，
．
∴
．即
．
答：梯子下滑0.5米．
20．（1）△是等邊三角形．證明如下：
△是等邊三角形，
．
又，
．
△
△
△
．
，即△是等邊三角形．
（2）成立．證明如下：
如圖，△是等邊三角形，
．
．
又△是等邊三角形，
．
．
．
同理
．
△△△．
．
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