Question

【題目】“嫦娥一號(hào)”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道．隨后，“嫦娥一號(hào)”經(jīng)過(guò)變軌和制動(dòng)成功進(jìn)入環(huán)月軌道．如圖所示，陰影部分表示月球，設(shè)想飛船在圓形軌道Ⅰ上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在圓軌道Ⅰ上飛行n圈所用時(shí)間為t到達(dá)A點(diǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)暫短的點(diǎn)火變速，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，在到達(dá)軌道Ⅱ近月點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)再次點(diǎn)火變速，進(jìn)入近月圓形軌道Ⅲ，而后飛船在軌道Ⅲ上繞月球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在圓軌道Ⅲ上飛行n圈所用時(shí)間為．不考慮其它星體對(duì)飛船的影響，求：

（1）月球的平均密度是多少？

（2）飛船從軌道Ⅱ上遠(yuǎn)月點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至近月點(diǎn)B所用的時(shí)間．

（3）如果在Ⅰ、Ⅲ軌道上有兩只飛船，它們繞月球飛行方向相同，某時(shí)刻兩飛船相距最近（兩飛船在月球球心的同側(cè)，且兩飛船與月球球心在同一直線上），則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，他們又會(huì)相距最近？

Answer 1

【答案】（1）月球的平均密度是．

（2）飛船從軌道Ⅱ上遠(yuǎn)月點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至近月點(diǎn)B所用的時(shí)間為．

（3）則經(jīng)（m=1，2，3…），他們又會(huì)相距最近

【解析】試題分析：（1）在圓軌道Ⅲ上的周期：

T3=…①

由萬(wàn)有引力提供向心力有：

…②

又：M=…③

聯(lián)立得：=…④

（2）設(shè)飛船在軌道I上的運(yùn)動(dòng)周期為T1，在軌道I有：…⑤

又：…⑥

聯(lián)立①②⑤⑥得：r=4R

設(shè)飛船在軌道II上的運(yùn)動(dòng)周期T2，而軌道II的半長(zhǎng)軸為：=2.5R…⑦

根據(jù)開(kāi)普勒定律得：

…⑧

可解得：T2=0.494T3

所以飛船從A到B的飛行時(shí)間為：

（3）設(shè)飛船在軌道I上的角速度為ω1、在軌道III上的角速度為ω3，有：

所以

設(shè)飛飛船再經(jīng)過(guò)t時(shí)間相距最近，有：

ω3t′﹣ω1t′=2mπ

所以有：t=（m=1，2，3…）