Question

【題目】如圖所示，在豎直邊界1、2間傾斜固定一內(nèi)徑較小的光滑絕緣直管道，其長度為L，上端離地面高L，下端離地面高．邊界1左側(cè)有水平向右的勻強電場，場強大小為E1（未知），邊界2右側(cè)有豎直向上的場強大小為E2（未知）的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場（圖中未畫出）．現(xiàn)將質(zhì)量為m、電荷量為q的小球從距離管上端口2L處無初速釋放，小球恰好無碰撞進入管內(nèi)（即小球以平行于管道的方向進入管內(nèi)），離開管道后在邊界2右側(cè)的運動軌跡為圓弧，重力加速度為g．

（1）計算E1與E2的比值；

（2）若小球第一次過邊界2后，小球運動的圓弧軌跡恰好與地面相切，計算滿足條件的磁感應(yīng)強度B0；

（3）若小球第一次過邊界2后不落到地面上（即B>B0），計算小球在磁場中運動到最高點時，小球在磁場中的位移與小球在磁場中運動時間的比值．（若計算結(jié)果中有非特殊角的三角函數(shù)，可以直接用三角函數(shù)表示）

Answer 1

【答案】（1）：1；（2）；（3）

【解析】

根據(jù)題意，粒子先經(jīng)過電場，做勻加速直線運動，在進入管中，出來以后做勻速圓周運動，畫出物體的運動軌跡，再根據(jù)相關(guān)的公式和定理即可求解。

（1）設(shè)管道與水平面的夾角為α，由幾何關(guān)系得：

解得：

由題意，小球在邊界1受力分析如下圖所示，有：

因小球進入邊界2右側(cè)區(qū)域后的軌跡為圓弧，則有：

mg ＝qE2

解得比值：

E1 ：E2＝：1

（2）設(shè)小球剛進入邊界2時速度大小為v，由動能定理有：

聯(lián)立上式解得：

設(shè)小球進入E2后，圓弧軌跡恰好與地面相切時的軌道半徑為R，如下圖，由幾何關(guān)系得：

代入數(shù)據(jù)解得：

洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：

代入數(shù)據(jù)解得：

（3）如下圖，設(shè)此時圓周運動的半徑為r，小球在磁場中運動到最高點時的位移為：

圓周運動周期為：

則小球運動時間為：

解得比值：