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【題目】在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中,學(xué)號(hào)為的四位同學(xué)的考試成績(jī),且滿足.

1)求四位同學(xué)的考試成績(jī)互不相同的概率;

2)設(shè)四位同學(xué)中恰有位同學(xué)的考試成績(jī)?yōu)?/span>96分,求隨機(jī)變量的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù)有相同的極值點(diǎn)(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值),求的值;

2)記.

①若在區(qū)間為自然對(duì)數(shù)底數(shù))上至少存在一點(diǎn),使得成立,求的取值范圍;

②若函數(shù)圖象存在兩條經(jīng)過原點(diǎn)的切線,求的取值范圍.

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【題目】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若為常數(shù))對(duì)任意恒成立.

1)若,求的值;

2)若,且.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

②若數(shù)列滿足,且,求證:數(shù)列為等比數(shù)列.

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【題目】某生態(tài)農(nóng)場(chǎng)有一矩形地塊,地塊內(nèi)有一半圓形池塘(如圖所示),其中百米,百米,半圓形池塘的半徑為1百米,圓心與線段的中點(diǎn)重合,半圓與的左側(cè)交點(diǎn)為.該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃分別在上各選一點(diǎn),修建道路,要求與半圓相切.

1)若,求該道路的總長(zhǎng);

2)若為觀光道路,修建費(fèi)用是4萬元/百米,為便道,修建費(fèi)用是1萬元/百米,求修建觀光道路與便道的總費(fèi)用的最小值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓.

1)求橢圓的方程;

2)已知圓,連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)(異于左、右焦點(diǎn)),過點(diǎn)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線分別交橢圓和圓于點(diǎn)均在軸上方).連接,記的斜率為,的斜率為.

①求的值;

②求證:直線的交點(diǎn)在定直線上.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知是圓的直徑.若與圓外離的圓上存在點(diǎn),連接與圓交于點(diǎn),滿足,則半徑的取值范圍是_________.

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【題目】已知橢圓的離心率,左、右焦點(diǎn)分別為、,拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)已知圓的切線(直線的斜率存在且不為零)與橢圓相交于、兩點(diǎn),那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?如果是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);如果不是,請(qǐng)說明理由.

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【題目】在四棱錐中,底面為正方形,.

(1)證明:面

(2)若與底面所成的角為, ,求二面角的余弦值.

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【題目】某少兒游泳隊(duì)需對(duì)隊(duì)員進(jìn)行限時(shí)的仰臥起坐達(dá)標(biāo)測(cè)試.已知隊(duì)員的測(cè)試分?jǐn)?shù)與仰臥起坐

個(gè)數(shù)之間的關(guān)系如下:;測(cè)試規(guī)則:每位隊(duì)員最多進(jìn)行三組測(cè)試,每組限時(shí)1分鐘,當(dāng)一組測(cè)完,測(cè)試成績(jī)達(dá)到60分或以上時(shí),就以此組測(cè)試成績(jī)作為該隊(duì)員的成績(jī),無需再進(jìn)行后續(xù)的測(cè)試,最多進(jìn)行三組;根據(jù)以往的訓(xùn)練統(tǒng)計(jì),隊(duì)員“喵兒”在一分鐘內(nèi)限時(shí)測(cè)試的頻率分布直方圖如下:

(1)計(jì)算值;

(2)以此樣本的頻率作為概率,求

①在本次達(dá)標(biāo)測(cè)試中,“喵兒”得分等于的概率;

②“喵兒”在本次達(dá)標(biāo)測(cè)試中可能得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知數(shù)列,,對(duì)任意n恒成立.

1)求證:();

2)求證:().

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