【題目】已知橢圓的離心率,左、右焦點分別為、,拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知圓的切線(直線的斜率存在且不為零)與橢圓相交于、兩點,那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點?如果是,求出定點的坐標(biāo);如果不是,請說明理由.
【答案】(1);(2)以為直徑的圓過定點.
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的焦點與橢圓的頂點公式求解即可.
(2) 設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,列出韋達(dá)定理,并根據(jù)直線與圓相切得出的關(guān)系式,代入證明即可.
(1)因為橢圓的離心率,所以,即.
因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點,
所以,所以.所以橢圓的方程為.
(2)因為直線的斜率存在且不為零.故設(shè)直線的方程為.
由消去,得,
所以設(shè),則.
所以.
所以.①
因為直線和圓相切,所以圓心到直線的距離,
整理,得,②
將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點
綜上可知,以為直徑的圓過定點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點焦點在x軸上,橢圓C上一點A(2,﹣1)到兩焦點距離之和為8.若點B是橢圓C的上頂點,點P,Q是橢圓C上異于點B的任意兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若BP⊥BQ,且滿足32的點D在y軸上,求直線BP的方程;
(3)若直線BP與BQ的斜率乘積為常數(shù)λ(λ<0),試判斷直線PQ是否經(jīng)過定點.若經(jīng)過定點,請求出定點坐標(biāo);若不經(jīng)過定點,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某縣一中學(xué)的同學(xué)為了解本縣成年人的交通安全意識情況,利用假期進(jìn)行了一次全縣成年人安全知識抽樣調(diào)查.已知該縣成年人中的擁有駕駛證,先根據(jù)是否擁有駕駛證,用分層抽樣的方法抽取了100名成年人,然后對這100人進(jìn)行問卷調(diào)查,所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如下圖所示.規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的為“安全意識優(yōu)秀”.
擁有駕駛證 | 沒有駕駛證 | 合計 | |
得分優(yōu)秀 | |||
得分不優(yōu)秀 | 25 | ||
合計 | 100 |
(1)補(bǔ)全上面的列聯(lián)表,并判斷能否有超過的把握認(rèn)為“安全意識優(yōu)秀與是否擁有駕駛證”有關(guān)?
(2)若規(guī)定參加調(diào)查的100人中分?jǐn)?shù)在70以上(含70)的為“安全意識優(yōu)良”,從參加調(diào)查的100人中根據(jù)安全意識是否優(yōu)良,按分層抽樣的方法抽出5人,再從5人中隨機(jī)抽取3人,試求抽取的3人中恰有一人為“安全意識優(yōu)良”的概率.
附表及公式:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】在某次數(shù)學(xué)考試中,抽查了1000名學(xué)生的成績,得到頻率分布直方圖如圖所示,規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀.
(1)下表是這次抽查成績的頻數(shù)分布表,試求正整數(shù)、的值;
區(qū)間 | [75,80) | [80,85) | [85,90) | [90,95) | [95,100] |
人數(shù) | 50 | a | 350 | 300 | b |
(2)現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績進(jìn)行分析,求抽取成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù);
(3)在根據(jù)(2)抽取的40名學(xué)生中,要隨機(jī)選取2名學(xué)生參加座談會,記其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望(即均值).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P(x0,y0)在曲線y=x2(x>0)上.已知A(0,-1),,n∈N*.記直線APn的斜率為kn.
(1)若k1=2,求P1的坐標(biāo);
(2)若k1為偶數(shù),求證:kn為偶數(shù).
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)與有相同的極值點(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值),求的值;
(2)記.
①若在區(qū)間(為自然對數(shù)底數(shù))上至少存在一點,使得成立,求的取值范圍;
②若函數(shù)圖象存在兩條經(jīng)過原點的切線,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線l過點,以原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的參數(shù)方程(為常數(shù))和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與交于,兩點,且,求傾斜角的值.
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【題目】中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則.例如《周髀算經(jīng)》和《易經(jīng)》里對二十四節(jié)氣的晷(guǐ)影長的記錄中,冬至和夏至的晷影長是實測得到的,其它節(jié)氣的晷影長則使按照等差數(shù)列的規(guī)律計算得出的,下表為《周髀算經(jīng)》對二十四節(jié)氣晷影長的記錄,其中寸表示115寸分(1寸分),已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長為130.0寸,夏至晷影長為14.8寸,那么《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長應(yīng)為( )
節(jié)氣 | 冬至 | 小寒(大雪) | 大寒(小雪) | 立春(立冬) | 雨水(霜降) | 驚蟄(寒露) |
晷影(寸) | 135 |
節(jié)氣 | 春分(秋分) | 清明(白露) | 谷雨(處暑) | 立夏(立秋) | 小滿(大暑) | 芒種(小暑)> | 夏至 |
晷影(寸) | 75.5 | 16.0 |
A.72.4寸B.81.4寸C.82.0寸D.91.6寸
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,直線與曲線相切,設(shè)的最大值為,數(shù)列的前n項和為,則( )
A.存在,
B.為等差數(shù)列
C.對于,
D.
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