【題目】如圖,棱錐的地面是矩形, 平面,,.
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的大小;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3).
【解析】
(1)先證明為正方形,可得,由平面,平面,可得,利用線面垂直的判定定理可得結(jié)果;(2)以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零,列方程組求出平面的法向量,結(jié)合為平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式求出兩個(gè)向量的夾角余弦,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角即可;(3)求出平面的法向量,再求出平面的斜線所在的向量,然后求出在法向量上的射影即可得到點(diǎn)到平面的距離.
(1)解法一:在中, ,,
∴,∴為正方形,
因此,
∵平面,平面,
∴.又∵,
∴平面.
解法二:以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,
在中, ,,
∴,∴,,
∴,,.
∵,,
即,.又,
∴平面.
(2)解法一:由平面,
知為在平面上的射影.
又,∴,
∴為二面角的平面角.
又∵,∴.
解法二:由1題得,.
設(shè)平面的法向量為,則,,
即,∴,
故平面的法向量可取為,
∵平面,
∴為平面的法向量.
設(shè)二面角的大小為,
依題意可得,
∴.
(3)解法一:∵,
∴,
設(shè)到平面的距離為,
由,
有,
得.
解法二:由1題得,,
設(shè)平面的法向量為,
則,,
即,
∴.
故平面的法向量可取為.
∵,
∴到平面的距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,D、E分別是△ABC的邊BC的三等分點(diǎn),設(shè) =m, =n,∠BAC= .
(1)用 、 分別表示 , ;
(2)若 =15,| |=3 ,求△ABC的面積.
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【題目】已知在體積為12π的圓柱中,AB,CD分別是上、下底面兩條不平行的直徑,則三棱錐A﹣BCD的體積最大值等于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4 和最小值1,設(shè).
(1)求的值;
(2)若不等式在區(qū)間上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線x2=2py和 ﹣y2=1的公切線PQ(P是PQ與拋物線的切點(diǎn),未必是PQ與雙曲線的切點(diǎn))與拋物線的準(zhǔn)線交于Q,F(xiàn)(0, ),若 |PQ|= |PF|,則拋物線的方程是( )
A.x2=4y
B.x2=2 y
C.x2=6y
D.x2=2 y
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某大型水上樂(lè)園內(nèi)有一塊矩形場(chǎng)地米, 米,以為直徑的半圓和半圓(半圓在矩形內(nèi)部)為兩個(gè)半圓形水上主題樂(lè)園, 都建有圍墻,游客只能從線段處進(jìn)出該主題樂(lè)園.為了進(jìn)一步提高經(jīng)濟(jì)效益,水上樂(lè)園管理部門(mén)決定沿著修建不銹鋼護(hù)欄,沿著線段修建該主題樂(lè)園大門(mén)并設(shè)置檢票口,其中分別為上的動(dòng)點(diǎn), ,且線段與線段在圓心和連線的同側(cè).已知弧線部分的修建費(fèi)用為元/米,直線部門(mén)的平均修建費(fèi)用為元/米.
(1)若米,則檢票等候區(qū)域(其中陰影部分)面積為多少平方米?
(2)試確定點(diǎn)的位置,使得修建費(fèi)用最低.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)營(yíng)銷(xiāo)和電子商務(wù)的興起,人們的購(gòu)物方式更具多樣化,某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取10名購(gòu)物者進(jìn)行采訪,5名男性購(gòu)物者中有3名傾向于選擇網(wǎng)購(gòu),2名傾向于選擇實(shí)體店,5名女性購(gòu)物者中有2名傾向于選擇網(wǎng)購(gòu),3名傾向于選擇實(shí)體店.
(1)若從10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取2名,其中男、女各一名,求至少1名傾向于選擇實(shí)體店的概率;
(2)若從這10名購(gòu)物者中隨機(jī)抽取3名,設(shè)X表示抽到傾向于選擇網(wǎng)購(gòu)的男性購(gòu)物者的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知正△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上,球心O到平面ABC的距離為1,點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作球O的截面,則截面面積的最小值是 .
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣4|,g(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)<g(x);
(2)若2f(x)+g(x)>ax對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,求a的取值范圍.
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