Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

(2)若恒成立，求的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)(，)構(gòu)成曲線M.證明:任意過(guò)原點(diǎn)的直線，與曲線M均僅有一個(gè)公共點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) 的極大值為，無(wú)極小值；(2) ；(3) 證明見解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；

（2）恒成立，兩種解法：①分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為與新函數(shù)的最值關(guān)系；②轉(zhuǎn)化為，對(duì)分類討論求出，轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的不等式；

（3）先確定出點(diǎn)(，)構(gòu)成曲線M，直線與曲線M均僅有一個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可得證.

(1)當(dāng)時(shí)，，

則

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時(shí)，的極大值為，無(wú)極小值；

(2)(法一)∵，

∴由恒成立，得恒成立，

令則，

令，則，

∵，故

∴在在(0，+∞)單增，又，

∴，，，

即，，，，

∴，單減，)，單增，

∴時(shí)，取極小值即最小值，

∴；

法二：

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，存在，使得，

即，且當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴，

由題意可知，，

設(shè)，則，即單調(diào)遞增.

∴的解集為(0，1]，即，

∴；

(3)由(2)可知，

則曲線M的方程為，

由題意可知.對(duì)任意，

證明：方程均有唯一解，

設(shè)，

則

①當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，

∵，

所以存在滿足時(shí)，使得，

又因?yàn)?/span>單調(diào)遞增.所以為唯一解；

②當(dāng)且，即時(shí)，

恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

∵，，

∴存在使得，

又∵單調(diào)遞增，所以為唯一解；

③當(dāng)時(shí)，有兩解，不妨設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以，列表如下:

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

由表可知，當(dāng)時(shí)，

的極大值為，

∵，所以.

∴，

∴存在，使得，

又因?yàn)?/span>單調(diào)遞增，所以為唯一解:

綜上，原命題得證.