Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）存在與直線2x﹣y=0垂直的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+ ，若g（x）有極大值點(diǎn)x1 ， 求證： ＞a．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）= ﹣2a，x＞0， 因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）存在與直線2x﹣y=0垂直的切線，
所以f′（x）=﹣ 在（0，+∞）上有解，
即 ﹣2a=﹣ 在（0，+∞）上有解，
也即x= 在（0，+∞）上有解，
所以 ＞0，得a＞ ，
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ，+∞）；
（Ⅱ）證明：因?yàn)間（x）=f（x）+ x2= x2+lnx﹣2ax，
因?yàn)間′（x）= ，
①當(dāng)﹣1≤a≤1時(shí)，g（x）單調(diào)遞增無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，
②當(dāng)a＞1或a＜﹣1時(shí)，令g′（x）=0，設(shè)x2﹣2ax+1=0的兩根為x1和x2 ，
因?yàn)閤1為函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，所以0＜x1＜x2 ，
又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，
所以g′（x1）=x12﹣2ax1+ =0，則a= ，
要證明 ＞a，只需要證明x1lnx1+1＞ax12 ，
因?yàn)閤1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣ +1=﹣ ﹣ x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，
令h（x）=﹣ x3﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），
所以h′（x）=﹣ x2﹣ +lnx，記P（x）=﹣ x2﹣ +lnx，x∈（0，1），
則P′（x）=﹣3x+ = ，
當(dāng)0＜x＜ 時(shí)，p′（x）＞0，當(dāng) ＜x＜1時(shí)，p′（x）＜0，
所以p（x）max=p（ ）=﹣1+ln ＜0，所以h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以h（x）＞h（1）=0，原題得證
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x= 在（0，+∞）上有解，求出a的范圍即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通過(guò)討論a的范圍，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣ ﹣ x+xlnx+1，x∈（0，1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．