Question

【題目】設(shè)函數(shù) ，其中0＜a＜1，
（1）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由1﹣ ＞0，得x＞a，所以函數(shù)f（x）的定義域為（a，+∞）．

設(shè)a＜x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ ，

因為 = ＜0，所以1﹣ ＜1﹣ ，

又0＜a＜1，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

所以f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)

（2）f（x）＞1，即 ＞1，也即即 ＞logaa，

又0＜a＜1，所以0＜1﹣ ＜a，解得a＜x＜ ．

所以不等式的解集為：（a， ）

【解析】（1）利用減函數(shù)的定義即可證明；（2）化成同底的對數(shù)式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得真數(shù)的大小關(guān)系，解出即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；過定點(diǎn)（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數(shù);0>a>1時在（0，+∞）上是減函數(shù)即可以解答此題．