【題目】某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為 ,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為P0(0<P0<1),中獎可以獲得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品. (Ⅰ)張三選擇方案甲抽獎,李四選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為X,若X≤3的概率為 ,求P0;
(Ⅱ)若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學期望較大?
【答案】解:(Ⅰ)由已知得,張三中獎的概率為 ,李四中獎的概率為P0 , 且兩人中獎與否互不影響. 記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A,則事件A的對立事件為“X=5”,
因為P(X=5)= ×P0 , 所以P(A)=1﹣P(X=5)=1﹣ ×P0= ,
所以 .
(Ⅱ)設(shè)張三、李四都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1 , 都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2 ,
則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2X1),
選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(3X2).
由已知可得,X1~B(2, ),X2~B(2,P0),
所以E(X1)=2× = ,E(X2)=2×P0 ,
從而E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)=6P0 .
若E(2X1)>E(3X2),則 >6P0 , 所以0<P0< ;
若E(2X1)<E(3X2),則 <6P0 , 所以 <P0<1;
若E(2X1)=E(3X2),則 =6P0 , 所以P0=
【解析】(Ⅰ)記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A,則事件A的對立事件是“X=5”,由題意知,先根據(jù)相互獨立事件的乘法公式求出對立事件的概率,再利用對立事件的概率公式,結(jié)合X≤3的概率為 ,即可求P0;(Ⅱ)設(shè)張三、李四兩人都選擇甲方案抽獎中獎次數(shù)為X1 , 張三、李四兩人都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2 , 則這兩人都選擇甲方案抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2X1),都選擇乙方案抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(3X2).根據(jù)題意知X1~B(2, ),X2~B(2,P0),利用貝努利概率的期望公式計算,再分類討論,從而得出答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有女子善織,日益功,疾,初日織五尺,今一月織九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),問日益幾何?”其意思為:“有一女子擅長織布,每天比前一天更加用功,織布的速度也越來越快,從第二天起,每天比前一天多織相同量的布,第一天織5尺,一月織了九匹三丈,問每天增加多少尺布?”若一個月按30天算,則每天增加量為( )
A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某社區(qū)為豐富居民節(jié)日活動,組織了“迎新春”象棋大賽,已知報名的選手情況統(tǒng)計如下表:
組別 | 男 | 女 | 總計 |
中年組 | 91 | ||
老年組 | 16 |
已知中年組女性選手人數(shù)是僅比老年組女性選手人數(shù)多2人,若對中年組和老年組分別利用分層抽樣的方法抽取部分報名者參加比賽,已知老年組抽取了5人,其中女性3人,中年組抽取了7人.
(1)求表格中的數(shù)據(jù);
(2)若從選出的中年組的選手中隨機抽取兩名進行比賽,求至少有一名女性選手的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足對任意的都有,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,不等式對任意的正整數(shù)恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在統(tǒng)計學中,偏差是指個別測定值與測定的平均值之差,在成績統(tǒng)計中,我們把某個同學的某刻考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差,班主任為了了解個別學生的偏科情況,對學生數(shù)學偏差(單位:分)與物理偏差(單位:分)之間的關(guān)系進行偏差分析,決定從全班40位同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析,得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如表:
(1)已知與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若這次考試該班數(shù)學平均分為120分,物理平均分為92,試預測數(shù)學成績126分的同學的物理成績.
參考公式: ,
參考數(shù)據(jù): ,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點,其離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與相交于兩點,在軸上是否存在點,使為正三角形,若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}滿足Sn=2n﹣an(n∈N*). (Ⅰ)計算a1 , a2 , a3 , a4 , 并由此猜想通項公式an;
(Ⅱ)用數(shù)學歸納法證明(Ⅰ)中的猜想.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)如果,在上恒成立,求的取值范圍.
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