【題目】已知數(shù)列的前項和為,當(dāng)時,滿足.
(1)求證:;
(2)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)若,公差,問是否存在,,使得?如果存在,求出所有滿足條件的,,如果不在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在,或.
【解析】
(1)已知條件是時,,令可證結(jié)論;
(2)已知條件變形
,用累加的方法得,從而,把此式再寫一次:
當(dāng)時,,兩式相減得:時,,同時也適合此式,從而證明是等差數(shù)列;
(3)由求得,讓從2開始一一檢驗,看是否有,當(dāng)然時,有,.
(1)證明:∵時,,
令得,,
∴.
(2)由
,
∴,
各式相加得,,
當(dāng)時,,
由時,,
而,,也滿足上式,∴為等差數(shù)列.
(3)∵,公差為,
∴,,,
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
當(dāng)時,(舍),時,(舍),
當(dāng)時,(舍),時,(舍),
當(dāng)時,(舍),
當(dāng)時,,
∴,(舍),
綜上或.
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【題目】橢圓的離心率是,過點做斜率為的直線,橢圓與直線交于兩點,當(dāng)直線垂直于軸時.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)變化時,在軸上是否存在點,使得是以為底的等腰三角形,若存在求出的取值范圍,若不存在說明理由.
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【題目】已知有窮數(shù)列,,,,.若數(shù)列中各項都是集合的元素,則稱該數(shù)列為數(shù)列.對于數(shù)列,定義如下操作過程:從中任取兩項,,將的值添在的最后,然后刪除,,這樣得到一個項的新數(shù)列(約定:一個數(shù)也視作數(shù)列).若還是數(shù)列,可繼續(xù)實施操作過程,得到的新數(shù)列記作,,如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作.
(1)設(shè),,請寫出的所有可能的結(jié)果;
(2)求證:對于一個項的數(shù)列操作總可以進行次;
(3)設(shè),,,,,,,,,求的可能結(jié)果,并說明理由.
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【題目】中國古代計時器的發(fā)明時間不晚于戰(zhàn)國時代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用機械原理設(shè)計的一種計時裝置,它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,開始時細沙全部在上部容器中,細沙通過連接管道流到下部容器,如圖,某沙漏由上、下兩個圓錐容器組成,圓錐的底面圓的直徑和高均為8 cm,細沙全部在上部時,其高度為圓錐高度的(細管長度忽略不計).若細沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此圓錐形沙堆的高為( )
A.2 cmB. cmC. cmD. cm
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【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓: 的長軸長為4,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過右焦點作一條不與坐標(biāo)軸平行的直線,若交橢圓與、兩點,點關(guān)于原點的對稱點為,求的面積的取值范圍.
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【題目】如圖,有四座城市、、、,其中在的正東方向,且與相距,在的北偏東方向,且與相距;在的北偏東方向,且與相距,一架飛機從城市出發(fā)以的速度向城市飛行,飛行了,接到命令改變航向,飛向城市,此時飛機距離城市有( )
A.B.C.D.
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【題目】下列命題中:
①已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為;
②若集合中只有一個元素,則;
③函數(shù)在上是增函數(shù);
④方程的實根的個數(shù)是1.
所有正確命題的序號是______(請將所有正確命題的序號都填上).
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【題目】設(shè)函數(shù)、的定義域均為,若對任意,且,具有,則稱函數(shù)為上的單調(diào)非減函數(shù),給出以下命題:① 若關(guān)于點和直線()對稱,則為周期函數(shù),且是的一個周期;② 若是周期函數(shù),且關(guān)于直線對稱,則必關(guān)于無窮多條直線對稱;③ 若是單調(diào)非減函數(shù),且關(guān)于無窮多個點中心對稱,則的圖象是一條直線;④ 若是單調(diào)非減函數(shù),且關(guān)于無窮多條平行于軸的直線對稱,則是常值函數(shù);以上命題中,所有真命題的序號是_________
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【題目】已知橢圓的左.右焦點分別為,短軸兩個端點為,且四邊形的邊長為 的正方形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,分別是橢圓長軸的左,右端點,動點滿足,連結(jié),交橢圓于點.證明: 的定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試問軸上是否存在異于點,的定點,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點,若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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