Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系．已知直線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為（）．

（Ⅰ）設(shè)為參數(shù)，若，求直線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）已知直線與曲線交于，，設(shè)，且，求實數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（為參數(shù)）；（Ⅱ）．　

【解析】試題（Ⅰ）由，將直線的極坐標方程化為直角坐標方程，再由，得，可得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（Ⅱ）先根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義化簡條件得，即，再由，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程（），并將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，最后利用韋達定理代入條件可解得實數(shù)的值．

試題解析：（Ⅰ）將，，代入直線的極坐標方程得直角坐標方程，

再將，代入直線的直角坐標方程，得，

所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（Ⅱ）由（），得（）,

由，代入，得（）．

將直線的參數(shù)方程與的直角坐標方程聯(lián)立，得，（*）．

設(shè)點，分別對應(yīng)參數(shù)，恰為上述方程的根，則，，，

由題設(shè)得，即，

由（*）得，，

則有，得或，

因為，所以．