Question

【題目】已知兩點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿足，記的軌跡為曲線，直線（）交曲線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長交曲線于點(diǎn).

（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么曲線；

（2）若，求△的面積；

（3）證明：△為直角三角形.

Answer 1

【答案】（1），軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1），根據(jù)橢圓定義，即可求出方程；

（2）設(shè)，可得，求出方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，再將與橢圓方程聯(lián)立，求出坐標(biāo)，即可求解；

（2）根據(jù)（2）中點(diǎn)坐標(biāo)求出斜率，即可證明結(jié)論.

（1），

點(diǎn)軌跡就是以為焦點(diǎn)的橢圓，

其方程為；

（2）設(shè)，則，

直線方程為，

聯(lián)立消去得，

，①

設(shè)為方程①的解，

，

，

聯(lián)立，解得或，

，

；

（3）由（2）得，

，

，即△為直角三角形.