【題目】已知,且,圓,點(diǎn),是圓上的動(dòng)點(diǎn),線段的垂直平分線交直線于點(diǎn),點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)討論曲線的形狀,并求其方程;
(2)若,且面積的最大值為,直線過點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸,與曲線交于,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)當(dāng)時(shí),曲線是橢圓,其方程為;當(dāng)時(shí)曲線是雙曲線,其方程為;(2)證明詳見解析,定點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】
(1)分點(diǎn)在圓內(nèi)和點(diǎn)在圓外兩種情況討論,兩者都可以利用圓錐曲線的定義得到相應(yīng)的曲線方程.
(2)設(shè),,則直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)后可得為定值,從而可證直線過定點(diǎn).
當(dāng)時(shí),點(diǎn)在圓內(nèi),,
故曲線是以為焦點(diǎn),以為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓,其方程為.
當(dāng)時(shí),點(diǎn)在圓外,,
曲線是以為焦點(diǎn),以為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線,其方程為.
綜上,當(dāng)時(shí),曲線是橢圓,其方程為;當(dāng)時(shí)曲線是雙曲線,其方程為;
(2)由面積有最大值為知,曲線只可能是橢圓,
由橢圓幾何性質(zhì)知,當(dāng)位于短軸端點(diǎn)時(shí)其面積有最大值,因,
故其短半軸長(zhǎng)為,又因焦距為2,
故曲線的方程為.
設(shè),,則,
聯(lián)立,消去得:,
,
直線,
由橢圓的對(duì)稱性知,若直線過定點(diǎn),則該定點(diǎn)必在軸上,
故令得:,
所以直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在同一平面直角坐標(biāo)系中,將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)參加項(xiàng)目生產(chǎn)的工人為人,平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)萬元.根據(jù)現(xiàn)實(shí)的需要,從項(xiàng)目中調(diào)出人參與項(xiàng)目的售后服務(wù)工作,每人每年可以創(chuàng)造利潤(rùn)萬元(),項(xiàng)目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高
(1)若要保證項(xiàng)目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn),則最多調(diào)出多少人參加項(xiàng)目從事售后服務(wù)工作?
(2)在(1)的條件下,當(dāng)從項(xiàng)目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時(shí),才能使得項(xiàng)目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤(rùn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù),2019年11月全國(guó)(居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)),同比上漲,上漲的主要因素是豬肉價(jià)格的上漲,豬肉加上其他畜肉影響上漲3.27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月一籃子商品權(quán)重,根據(jù)該圖,下列四個(gè)結(jié)論正確的有______.
①一籃子商品中權(quán)重最大的是居住
②一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過
③豬肉在一籃子商品中權(quán)重為
④豬肉與其他禽肉在一籃子商品中權(quán)重約為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市勞動(dòng)部門堅(jiān)持就業(yè)優(yōu)先,釆取多項(xiàng)措施加快發(fā)展新興產(chǎn)業(yè),服務(wù)經(jīng)濟(jì),帶來大量就業(yè)崗位,據(jù)政府工作報(bào)告顯示,截至2018年末,全市城鎮(zhèn)新增就業(yè)21.9萬人,創(chuàng)歷史新高.城鎮(zhèn)登記失業(yè)率為4.2%,比上年度下降0.73個(gè)百分點(diǎn),處于近20年來的最低水平.
(1)現(xiàn)從該城鎮(zhèn)適齡人群中抽取100人,得到如下列聯(lián)表:
失業(yè) | 就業(yè) | 合計(jì) | |
男 | 3 | 62 | 65 |
女 | 2 | 33 | 35 |
合計(jì) | 5 | 95 | 100 |
根據(jù)聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為失業(yè)與性別有關(guān)?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)調(diào)查顯示,新增就業(yè)人群中,新興業(yè)態(tài),民營(yíng)經(jīng)濟(jì),大型國(guó)企對(duì)就業(yè)支撐作用不斷增強(qiáng),其崗位比例為2∶5∶3,現(xiàn)要抽取一個(gè)樣本容量為50的樣本,則這三種崗位應(yīng)該各抽取多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)離心率為 的橢圓 的左、右焦點(diǎn)為 , 點(diǎn)P是E上一點(diǎn), , 內(nèi)切圓的半徑為 .
(1)求E的方程;
(2)矩形ABCD的兩頂點(diǎn)C、D在直線上,A、B在橢圓E上,若矩形ABCD的周長(zhǎng)為 , 求直線AB的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線: .以為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)射線()與曲線的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,與曲線的交點(diǎn)為,求.
【答案】(1) 的極坐標(biāo)方程為, 的極坐標(biāo)方程為;(2) .
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線,再根據(jù)將曲線的極坐標(biāo)方程;(2)將代人曲線的極坐標(biāo)方程,再根據(jù)求.
試題解析:(1)曲線的參數(shù)方程(為參數(shù))
可化為普通方程,
由,可得曲線的極坐標(biāo)方程為,
曲線的極坐標(biāo)方程為.
(2)射線()與曲線的交點(diǎn)的極徑為,
射線()與曲線的交點(diǎn)的極徑滿足,解得,
所以.
【題型】解答題
【結(jié)束】
23
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)設(shè)的解集為,求集合;
(2)已知為(1)中集合中的最大整數(shù),且(其中,,為正實(shí)數(shù)),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】畢達(dá)哥拉斯樹是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)“勾股定理”所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的圖形,也叫“勾股樹”,其是由一個(gè)等腰直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方形而得到.圖1所示是第1代“勾股樹”,重復(fù)圖1的作法,得到第2代“勾股樹”(如圖2),如此繼續(xù).若“勾股樹”上共得到8191個(gè)正方形,設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為1,則最小正方形的邊長(zhǎng)為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四邊形中,,;如圖,將沿邊折起,連結(jié),使,求證:
(1)平面平面;
(2)若為棱上一點(diǎn),且與平面所成角的正弦值為,求二面角的大小.
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