(本小題滿分12分)已知的兩頂點坐標,,圓是的內(nèi)切圓,在邊,,上的切點分別為,(從圓外一點到圓的兩條切線段長相等),動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設直線與曲線的另一交點為,當點在以線段為直徑的圓上時,求直線的方程.
(1);(2)直線的方程或.
解析試題分析:本題主要考查橢圓的第一定義、橢圓的標準方程、橢圓的幾何意義、直線的方程、向量垂直的充要條件等基礎知識,考查用代數(shù)法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問,利用圓外一點到圓的兩條切線段長相等,轉(zhuǎn)化邊,得到,所以判斷出曲線是以為焦點,長軸長為的橢圓(挖去與軸的交點),利用已知求出橢圓標準方程中的基本量;第二問,根據(jù)已知設出直線的方程,直線與曲線聯(lián)立,消參得關(guān)于的方程,求出方程的2個根,并且寫出兩根之和兩根之積,因為點在以為直徑的圓上,所以只需使,解出參數(shù)從而得到直線的方程.
試題解析:⑴解:由題知
所以曲線是以為焦點,長軸長為的橢圓(挖去與軸的交點),
設曲線:,
則,
所以曲線:為所求. 4分
⑵解:注意到直線的斜率不為,且過定點,
設,
由
消得,所以,
所以 8分
因為,所以
注意到點在以為直徑的圓上,所以,即, 11分
所以直線的方程或為所求. 12分
考點:1.橢圓的第一定義;2.橢圓的標準方程;3.直線與橢圓的位置關(guān)系;4.韋達定理;5.向量垂直的充要條件.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知曲線:.
(1)若曲線是焦點在軸上的橢圓,求的取值范圍;
(2)設,過點的直線與曲線交于,兩點,為坐標原點,若為直角三角形,求直線的斜率.
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已知橢圓()的右焦點為,離心率為.
(Ⅰ)若,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓相交于,兩點,分別為線段的中點. 若坐標原點在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.
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已知、為橢圓的左、右焦點,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過的直線交橢圓于兩點,則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?
若存在其最大值及此時的直線方程;若不存在,請說明理由.
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給定橢圓,稱圓心在坐標原點O,半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”,已知橢圓C的兩個焦點分別是.
(1)若橢圓C上一動點滿足,求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(2)在(1)的條件下,過點作直線l與橢圓C只有一個交點,且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為,求P點的坐標;
(3)已知,是否存在a,b,使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點的直線的最短距離.若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
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已知橢圓的中心在原點,焦點在軸上,長軸長為,且點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設是橢圓長軸上的一個動點,過作方向向量的直線交橢圓于、兩點,求證:為定值.
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已知橢圓:.
(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖),直線分別與橢圓交于兩點,其中點滿足,且.
①證明直線與軸交點的位置與無關(guān);
②若∆面積是∆面積的5倍,求的值;
(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.
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已知拋物線的焦點為,準線為,點為拋物線C上的一點,且的外接圓圓心到準線的距離為.
(I)求拋物線C的方程;
(II)若圓F的方程為,過點P作圓F的2條切線分別交軸于點,求面積的最小值時的值.
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