【題目】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若面與面所成二面角的大小為，求與面所成角的正弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接交于，則是的中點(diǎn)，連接，證明，平面即得證；（2）如圖以為原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，根據(jù)面與面所成二面角的大小為求出，再求出與面所成角的正弦值．

（1）證明：連接交于，則是的中點(diǎn)，連接，

則是的中位線，所以，

有因?yàn)?/span>，

所以平面.

（2）如圖以為原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則

，，，，，

，設(shè)，則，

又，即，解得 ①

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

即，方程的一組解為 ,

顯然是面的一個(gè)法向量，依題意有

，得，

結(jié)合①式得 .

因?yàn)?/span>底面，所以是與面所成的角，

所以 .

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“團(tuán)購”已經(jīng)滲透到我們每個(gè)人的生活，這離不開快遞行業(yè)的發(fā)展，下表是2013-2017年全國快遞業(yè)務(wù)量（x億件：精確到0.1）及其增長速度（y%）的數(shù)據(jù)

（1）試計(jì)算2012年的快遞業(yè)務(wù)量；

（2）分別將2013年，2014年，…，2017年記成年的序號t：1，2，3，4，5；現(xiàn)已知y與t具有線性相關(guān)關(guān)系，試建立y關(guān)于t的回歸直線方程；

（3）根據(jù)（2）問中所建立的回歸直線方程，估算2019年的快遞業(yè)務(wù)量

附：回歸直線的斜率和截距地最小二乘法估計(jì)公式分別為：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】高三年級某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間為：.其中a，b，c成等差數(shù)列且.物理成績統(tǒng)計(jì)如表.（說明：數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分）

分組

頻數(shù)

6

9

20

10

5

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，請估計(jì)數(shù)學(xué)成績的平均分；

（2）根據(jù)物理成績統(tǒng)計(jì)表，請估計(jì)物理成績的中位數(shù)；

（3）若數(shù)學(xué)成績不低于140分的為“優(yōu)”，物理成績不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人，從數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求兩人恰好均為物理成績“優(yōu)”的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了了解高一年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);

(2)該校高一年級共有1000名學(xué)生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在圓上，且橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)圍成的三角形周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過圓上一點(diǎn)作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝120°.

（1）證明：AD⊥BA1；

（2）若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直線BA1與平面A1B1CD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】北京聯(lián)合張家口獲得2022年第24屆冬奧會舉辦權(quán)，我國各地掀起了發(fā)展冰雪運(yùn)動的熱潮，現(xiàn)對某高中的學(xué)生對于冰雪運(yùn)動是否感興趣進(jìn)行調(diào)查，該高中男生人數(shù)是女生的1.2倍，按照分層抽樣的方法，從中抽取110人，調(diào)查高中生“是否對冰雪運(yùn)動感興趣”得到如下列聯(lián)表：

感興趣

不感興趣

合計(jì)

男生

40

女生

30

合計(jì)

110

（1）補(bǔ)充完成上述列聯(lián)表；

（2）是否有99%的把握認(rèn)為是否喜愛冰雪運(yùn)動與性別有關(guān).

附： （其中）.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面平面，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)習(xí)小組在生物研究性學(xué)習(xí)中，對春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行研究，于是小組成員在3月份的31天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日期

3月2日

3月8日

3月15日

3月22日

3月28日

溫差/

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)/顆

23

25

30

26

14

（1）在這個(gè)學(xué)習(xí)小組中負(fù)責(zé)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的那位同學(xué)為了減少計(jì)算量，他從這5天中去掉了3月2日與3月28日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所去掉的試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（1）中所得的線性回歸方程是否可靠?

（參考公式：，）（參考數(shù)據(jù)：，）

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