【題目】已知函數(shù) .
(1)求時(shí),的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在,使得對(duì)任意的,都有,求的取值范圍,并證明.
【答案】(1)在為減函數(shù),為增函數(shù);(2),證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)由得,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得到, 令,用導(dǎo)數(shù)法方法判斷其單調(diào)性,求出在上為增函數(shù),再由,即可求出結(jié)果;
(2)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得到,根據(jù)題意,得到為在的極小值點(diǎn),故,設(shè),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,得到,推出,再令,用導(dǎo)數(shù)的方法求出其單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)果.
(1)當(dāng)時(shí),,
,
令,則,
所以,由得;由得,
即函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
因此,所以在上單調(diào)遞增;
即在上為增函數(shù).
又因?yàn)?/span>,
所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
故在為減函數(shù),為增函數(shù).
(2) ,
因?yàn)?/span>對(duì)任意的恒成立,所以為在的極小值點(diǎn),故①.
設(shè),則當(dāng) 時(shí),,
所以在上為增函數(shù),而,.
由①可知,從而 ,故.
又由,即,
所以
.
令,其中,則,為上的減函數(shù),
故,而,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),若存在不相等的實(shí)數(shù),,使得,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的參數(shù)方程(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線(xiàn)的普通方程以及曲線(xiàn)的參數(shù)方程;
(2)當(dāng)時(shí),為曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
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【題目】在四棱錐中,四邊形是直角梯形,,,底面,,,,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)上是否存在點(diǎn),使得三棱錐的體積是三棱錐體積的.若存在,請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體ABCDE,AB∥DE,AB⊥AD,△ACD是正三角形.AD=DE=2AB=2,EC=2,F是CD的中點(diǎn).
(1)求證AF∥平面BCE;
(2)求直線(xiàn)AD與平面BCE所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某職稱(chēng)晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專(zhuān)業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功,否則晉級(jí)失。
晉級(jí)成功 | 晉級(jí)失敗 | 合計(jì) | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合計(jì) |
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)?
(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談,記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(參考公式:,其中)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-(a+1)x+alnx+1
(Ⅰ)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的極大值;
(Ⅱ)求a的范圍,使得f(x)≥1恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系,直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),且傾斜角為,以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線(xiàn)的參數(shù)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)與圓交于、兩點(diǎn),若,求直線(xiàn)的傾斜角的值.
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