Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，若存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再對(duì)分三種情況進(jìn)行討論；

（2）先求出，再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)研究函數(shù)的圖象特征，當(dāng)時(shí)，圖象在上是增函數(shù)，不符合題；當(dāng)時(shí)，再將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解證明.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

，

因?yàn)?/span>，所以，

①當(dāng)，即時(shí)，

由得或，由得，

所以在，上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)；

②當(dāng)，即時(shí)，所以在上是增函數(shù)；

③當(dāng)，即時(shí)，由得或，由得，所以在，.上是增函數(shù)，在.上是減函

綜上可知：

當(dāng)時(shí)在，上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在.上是單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)在，上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減.

（2），，

當(dāng)時(shí)， ，所以在上是增函數(shù)，故不存在不相等的實(shí)數(shù)，，使得，所以.

由得，即，

不妨設(shè)，則，

要證，只需證，即證，

只需證，令，只需證，即證，

令，則，

所以在上是增函數(shù)，所以，

從而，故.