【題目】如圖,在梯形ABCD中,ABCD,ADDCCB1,∠BCD120°,四邊形BFED為矩形,平面BFED⊥平面ABCD,BF1.

(1)求證:AD⊥平面BFED;

(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng),設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ,試求θ的最小值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析 2θ最小值為60°

【解析】

1)在梯形ABCD中,利用勾股定理,得到ADBD,再結(jié)合面面垂直的判定,證得DE⊥平面ABCD,即可證得AD⊥平面BFED;

2)以D為原點(diǎn),直線DA,DB,DE分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求得平面PAB與平面ADE法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.

1)證明:在梯形ABCD中,

ABCD,ADDCCB1,∠BCD120°,∴AB2.

BD2AB2AD22AB·AD·cos 60°3.

AB2AD2BD2,∴ADBD.

∵平面BFED⊥平面ABCD,平面BFED平面ABCDBD

DE平面BFED,DEDB,∴DE⊥平面ABCD,

DEAD,又DEBDD,∴AD⊥平面BFED.

1)由(1)知,直線AD,BDED兩兩垂直,故以D為原點(diǎn),直線DADB,DE分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

EPλ(0≤λ),則D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,λ1),

所以(1,,0)(0,λ,1)

設(shè)n1(x,y,z)為平面PAB的法向量,

,取y1,則n1(,1,λ)

因?yàn)?/span>n2(0,1,0)是平面ADE的一個(gè)法向量,

所以cos θ.

因?yàn)?/span>0≤λ,所以當(dāng)λ時(shí),cos θ有最大值,所以θ的最小值為60°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某班主任對(duì)全班50名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示:

分類

積極參加

班級(jí)工作

不太主動(dòng)參

加班級(jí)工作

總計(jì)

學(xué)習(xí)積極性高

18

7

25

學(xué)習(xí)積極性一般

6

19

25

總計(jì)

24

26

50

(1)如果隨機(jī)抽查這個(gè)班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級(jí)工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動(dòng)參加班級(jí)工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?

(2)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對(duì)待班級(jí)工作的態(tài)度是否有關(guān),并說(shuō)明理由.

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【題目】以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,a為常數(shù))),過(guò)點(diǎn)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程滿足,(為參數(shù)).

(1)求曲線C的普通方程和直線的參數(shù)方程;

(2)若直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)P在A、B之間),且,求的值.

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【題目】我國(guó)的“洋垃極禁止入境”政策已實(shí)施一年多某沿海地區(qū)的海岸線為一段圓弧AB,對(duì)應(yīng)的圓心角,該地區(qū)為打擊洋垃圾走私,在海岸線外側(cè)20海里內(nèi)的海域ABCD對(duì)不明船只進(jìn)行識(shí)別查證如圖:其中海域與陸地近似看作在同一平面內(nèi)在圓弧的兩端點(diǎn)A,B分別建有監(jiān)測(cè)站,A與B之間的直線距離為100海里.

求海域ABCD的面積;

現(xiàn)海上P點(diǎn)處有一艘不明船只,在A點(diǎn)測(cè)得其距A點(diǎn)40海里,在B點(diǎn)測(cè)得其距B點(diǎn)海里判斷這艘不明船只是否進(jìn)入了海域ABCD?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知雙曲線 的兩條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線分別交于,兩點(diǎn).若雙曲線的離心率為,的面積為為坐標(biāo)原點(diǎn),則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( )

A. B. C. D.

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【題目】人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律:如圖,衛(wèi)星在以地球的中心為焦點(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí),其運(yùn)行速度是變化的,速度的變化服從面積守恒規(guī)律,即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地心的連線)在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為.某同學(xué)根據(jù)所學(xué)知識(shí),得到下列結(jié)論:

①衛(wèi)星向徑的取值范圍是

②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大,橢圓軌道越扁

③衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間

④衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小,在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大

其中正確的結(jié)論是(

A.①②B.①③C.②④D.①③④

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A.2B.2C.6D.6

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【題目】已知函數(shù).

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(Ⅱ)當(dāng)平面平面時(shí),求二面角的余弦值.

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