Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與軸交于， 兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為， ，線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且， 恰為函數(shù)的零點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞減，在， 內(nèi)單調(diào)遞增；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)進(jìn)行討論可得函數(shù)單調(diào)性；（2）由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可知， 又是的零點(diǎn)，代入相減化簡(jiǎn)得，對(duì)求導(dǎo)， .令，求得函數(shù).不等式得證．

試題解析：（1）由于的定義域?yàn)?/span>，則.對(duì)于方程，其判別式.當(dāng)，即時(shí)， 恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)，即，方程恰有兩個(gè)不相等是實(shí)，令，得或，此時(shí)單調(diào)遞增；令，得，此時(shí)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在內(nèi)單調(diào)遞減，在， 內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）由（1）知， ，所以的兩根， 即為方程的兩根.因?yàn)?/span>，所以， ， .又因?yàn)?/span>， 為的零點(diǎn)，

所以， ，兩式相減得，得.而，所以 .

令，由得，因?yàn)?/span>，兩邊同時(shí)除以，得，因?yàn)?/span>，故，解得或，所以.設(shè)，所以，則在上是減函數(shù)，所以，

即的最小值為.

所以.