Question

【題目】如圖甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中點(diǎn)．

現(xiàn)沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如圖乙所示），E、F分別為BC、AB邊的中點(diǎn)．

（1）求證：平面PAE⊥平面PDE；

（2）在PE上找一點(diǎn)Q，使得平面BDQ⊥平面ABCD．

（3）在PA上找一點(diǎn)G，使得FG∥平面PDE．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）當(dāng)PQ=2QE時(shí)，平面BDQ⊥平面ABCD； （3）滿足AG＝ AP時(shí)，有FG∥平面PDE．.

【解析】

（1）現(xiàn)根據(jù)線面平行的判定得到PA⊥平面ABCD，根據(jù)底面圖形特點(diǎn)得到AE⊥ED，又因?yàn)?/span>PA⊥ED進(jìn)而得到ED⊥平面PAE，可推得面面垂直；（2）假設(shè)平面BDQ⊥平面ABCD，面BDQ交底面ABCD于H點(diǎn)，根據(jù)線面平行的性質(zhì)得到PA平行于面BDQ，QH平行于PA再由相似導(dǎo)出比例關(guān)系；（3）過(guò)點(diǎn)F作FH∥ED交AD于H，再過(guò)H作GH∥PD交PA于G，連接FG，證明平面FHG∥平面PED，即可證明FG∥平面PDE．

（1）證明：因?yàn)镻A⊥AD， PA⊥AB， ABAD＝A，

所以PA⊥平面ABCD．因?yàn)锽C＝PB＝2CD， A是PB的中點(diǎn)，所以ABCD是矩形，

又E為BC邊的中點(diǎn)，所以AE⊥ED．

又由PA⊥平面ABCD， 得PA⊥ED， 且PAAE＝A， 所以ED⊥平面PAE，

而ED平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE．

（2）假設(shè)平面BDQ⊥平面ABCD，面BDQ交底面ABCD于H點(diǎn)，又因?yàn)橛傻谝粏?wèn)得到PA⊥平面ABCD，可得到直線PA平行于面BDQ，由線面平行的性質(zhì)得到QH平行于PA，因?yàn)锳D平行于BE,BE：AD=EH：HA=1：2，根據(jù)三角形EHQ相似于三角形PAE，故得到EQ：EP=HQ:AP=2:3.故當(dāng)PQ=2QE時(shí)，平面BDQ⊥平面ABCD．

（3）過(guò)點(diǎn)F作FH∥ED交AD于H，再過(guò)H作GH∥PD交PA于G， 連結(jié)FG．

由FH∥ED， ED平面PED， 得FH∥平面PED；

由GH∥PD，PD平面PED，得GH∥平面PED，

又FHGH＝H，所以平面FHG∥平面PED．所以FG∥平面PDE．

再分別取AD、PA的中點(diǎn)M、N，連結(jié)BM、MN，

易知H是AM的中點(diǎn)，G是AN的中點(diǎn)，

從而當(dāng)點(diǎn)G滿足AG＝AP時(shí)，有FG∥平面PDE．