Question

【題目】如圖，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF 2CE，G是線(xiàn)段BF上一點(diǎn)，AB=AF=BC=2．

（1）當(dāng)GB=GF時(shí)，求證：EG∥平面ABC；
（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；
（3）是否存在點(diǎn)G滿(mǎn)足BF⊥平面AEG？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB中點(diǎn)D，連接GD，CD，

又GB=GF，所以 ．

因?yàn)? ，所以 ，四邊形GDCE是平行四邊形，

所以CD∥EG

因?yàn)镋G平面ABC，CD平面ABC

所以EG∥平面ABC．

（2）解：因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ACEF，平面ABC∩平面ACEF=AC，

且AF⊥AC，所以AF⊥平面ABC，

所以AF⊥AB，AF⊥BC

因?yàn)锽C⊥AB，所以BC⊥平面ABF．

如圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．

則F（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1）， 是平面ABF的一個(gè)法向量．

設(shè)平面BEF的法向量n=（x，y，z），則 ，即

令y=1，則z=﹣2，x=﹣2，所以n=（﹣2，1，﹣2），所以 ，

由題知二面角E﹣BF﹣A為鈍角，所以二面角E﹣BF﹣A的余弦值為 ．

（3）解：因?yàn)? ，所以BF與AE不垂直，

所以不存在點(diǎn)G滿(mǎn)足BF⊥平面AEG．

【解析】（1）當(dāng)GB=GF時(shí)，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證明EG∥平面ABC；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣A的余弦值；（3）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定和直線(xiàn)與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．