如圖所示,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.

(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過B1作直線交橢圓于P、Q兩點,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面積.

(1) +=1     (2)

解析解:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),焦距為2c,則A(0,b),|OB1|=|OB2|=.
由=4得·c·b=4,
即bc=8.①
又△AB1B2是直角三角形,
且|OB1|=|OB2|,∴b=.②
由①②可得b=2,c=4.
∴a2=20.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1,離心率e==.
(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).
由題意知,直線PQ的傾斜角不為0,
故可設(shè)直線PQ的方程為x=my-2.
代入橢圓方程得(m2+5)y2-4my-16=0.(*)
設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),
則y1,y2是方程(*)的兩根.
∴y1+y2=,y1·y2=-.
又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).
∴·=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=(my1-4)(my2-4)+y1y2
=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
=--+16
=-.
由PB2⊥B2Q知·=0,
即-=0,
16m2-64=0,解得m=±2.
當(dāng)m=2時,y1+y2=,y1y2=-,
|y1-y2|==.
=|B1B2|·|y1-y2|=.
當(dāng)m=-2時,由橢圓的對稱性可得=.
綜上所述,△PB2Q的面積為.

練習(xí)冊系列答案
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已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，橢圓短半軸長為1，動點M(2，t)(t>0)在直線x＝(a為長半軸，c為半焦距)上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求以O(shè)M為直徑且被直線3x－4y－5＝0截得的弦長為2的圓的方程；
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已知橢圓E:+=1(a>b>0),以拋物線y2=8x的焦點為頂點,且離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標(biāo)原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足=+,證明·為定值,并求出該值.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過M,F,O三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
(3)若點M的橫坐標(biāo)為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點A,B,l與圓Q有兩個不同的交點D,E,求當(dāng)≤k≤2時,|AB|2+|DE|2的最小值.

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橢圓C:  +=1(a>b>0)的離心率e=,a+b=3.

(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明2m-k為定值.

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已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點為F(0,1).

(1)求拋物線C的方程;
(2)過點F作直線交拋物線C于A,B兩點,若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值.

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已知橢圓:的離心率,原點到過點,的直線的距離是.
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上一動點關(guān)于直線的對稱點為，求 的取值范圍；
（3）如果直線交橢圓于不同的兩點，，且，都在以為圓心的圓上，求的值.

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