Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是拋物線C:x²=2py(p>0)的焦點(diǎn),M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)M,F,O三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為.
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D,E,求當(dāng)≤k≤2時(shí),|AB|²+|DE|²的最小值.

Answer 1

（1）x²=2y  （2）存在點(diǎn)M(,1)  （3）

解析解:(1)依題意知F,圓心Q在線段OF的垂直平分線y=上,
因?yàn)閽佄锞�C的準(zhǔn)線方程為y=-,
所以=,
即p=1.
因此拋物線C的方程為x²=2y.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)M(x₀>0)滿(mǎn)足條件,拋物線C在點(diǎn)M處的切線斜率為y′==x₀,
所以直線MQ的方程為y-=x₀(x-x₀).
令y=得x_Q=+.
所以Q（+,）.
又|QM|=|OQ|,
故（-）²+（-）²=（+）²+,
因此（-）²=.
又x₀>0,
所以x₀=,此時(shí)M(,1).
故存在點(diǎn)M(,1),
使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M.
(3)當(dāng)x₀=時(shí),由(2)得Q（,）,
☉Q的半徑為r==,
所以☉Q的方程為（x-）²+（y-）²=.
由
整理得2x²-4kx-1=0.
設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),
由于Δ₁=16k²+8>0,x₁+x₂=2k,x₁x₂=-,
所以|AB|²=(1+k²)[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]
=(1+k²)(4k²+2).
由
整理得(1+k²)x²-x-=0.
設(shè)D,E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₃,y₃),(x₄,y₄),
由于Δ₂=+>0,x₃+x₄=,
x₃x₄=-.
所以|DE|²=(1+k²)[(x₃+x₄)²-4x₃x₄]
=+.
因此|AB|²+|DE|²=(1+k²)(4k²+2)+  +.
令1+k²=t,
由于≤k≤2,
則≤t≤5,
所以|AB|²+|DE|²=t(4t-2)++
=4t²-2t++