如圖,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點,=4.

(1)求該橢圓的標準方程;
(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′,過P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫出對應的圓Q的標準方程.

（1）+=1  （2）2  (x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6

解析解:(1)由題意知點A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e2+=1,
又e=,故b2==8,從而a2==16.
故該橢圓的標準方程為+=1.
(2)由橢圓的對稱性,可設Q(x0,0).又設M(x,y)是橢圓上任意一點,則|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8×（1-）=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).
設P(x1,y1),由題意知,P是橢圓上到Q的距離最小的點,
因此,當x=x1時|QM|2取最小值,
又x1∈(-4,4),所以當x=2x0時|QM|2取最小值,
從而x1=2x0,且|QP|2=8-.
由對稱性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,
所以S=|2y1||x1-x0|
=×2|x0|
=
=·.
當x0=±時,△PP′Q的面積S取得最大值2.
此時對應的圓Q的圓心坐標為Q(±,0),半徑|QP|==,
因此,這樣的圓有兩個,其標準方程分別為(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.

練習冊系列答案
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已知，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．
（1）求動點的軌跡曲線的方程；
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（1）求雙曲線的方程
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在平面直角坐標系xOy中,F是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過M,F,O三點的圓的圓心為Q,點Q到拋物線C的準線的距離為.
(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.
(3)若點M的橫坐標為,直線l:y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點A,B,l與圓Q有兩個不同的交點D,E,求當≤k≤2時,|AB|2+|DE|2的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知常數(shù)，向量，經(jīng)過定點以為方向向量的直線與經(jīng)過定點以為方向向量的直線相交于，其中，
（1）求點的軌跡的方程；（2）若，過的直線交曲線于兩點，求的取值范圍。

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已知橢圓的中心為坐標原點,短軸長為2,一條準線的方程為l:x=2.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)設O為坐標原點,F是橢圓的右焦點,點M是直線l上的動點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值.

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