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【題目】在正方體中，棱長為2，分別為棱的中點，為底面正方形內一點（含邊界）且與面所成角的正切值為，直線與面的交點為，當到的距離最小時，則四面體外接球的表面積為___________.

【答案】

【解析】

根據線面角的正切值確定M的軌跡，建立空間直角坐標系求出N的坐標，求出半徑即可得解.

與面所成角的正切值為，

根據正方體性質可得：與面所成角就是

所以，所以M的軌跡為平面內以B為圓心，為半徑的圓周上位于底面正方形內（含邊界），圓周與線段BD交點為，

直線與面的交點為，當到的距離最小時，即點為與的交點，

以A為原點，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸正方向建立空間之間坐標系如圖所示：

設，

點為與的交點，所以，

，

解得，

所以，設四面體外接球球心O，，

所以O在過BD中點且垂直于平面ABCD的直線上，

設，

解得：，所以，

球的表面積為：.

故答案為：

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），為曲線上一動點，動點滿足.

（1）求點軌跡的直角坐標方程；

（2）以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，是上一個動點，求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為，曲線C2的直角坐標方程為.

（1）若直線l與曲線C1交于M、N兩點，求線段MN的長度；

（2）若直線l與x軸，y軸分別交于A、B兩點，點P在曲線C2上，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）＝log3（ax+b）的圖象經過點A（2，1）和B（5，2），an＝an+b（n∈N*）．

（1）求{an}；

（2）設數列{an}的前n項和為Sn，bn，求{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，過點作平面的垂線，垂足為與的交點，是線段的中點.

（1）求證：DE//平面；

（2）若四棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某商場為迎接“618年中慶典，擬推出促銷活動，活動規(guī)則如下：①活動期間凡在商場內購物，每滿673元可參與一次現金紅包抽獎，且互不影響，詳細如下表：

獎項

一等獎

二等獎

獎金

200元現金紅包

優(yōu)惠餐券1張（價值50元）

獲獎率

30%

70%

②活動期間凡在商場內購物，每滿2019元可參與消費返現，返現金額為實際消費金額的15%.規(guī)定每位顧客只可選擇參加其中一種優(yōu)惠活動.

（1）現有顧客甲在商場消費2019元，若其選擇參與抽獎，求其可以獲得現金紅包的概率.

（2）現有100名消費金額為2019元的顧客正在等待抽獎，假如你是該商場的活動策劃人，你更希望顧客參與哪項優(yōu)惠活動？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對數列，規(guī)定為數列的一階差分數列，其中，規(guī)定為的二階差分數列，其中.

（1）數列的通項公式，試判斷，是否為等差數列，請說明理由？

（2）數列是公比為的正項等比數列，且，對于任意的，都存在，使得，求所有可能的取值構成的集合；

（3）各項均為正數的數列的前項和為，且，對滿足，的任意正整數、、，都有，且不等式恒成立，求實數的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)擬對某條生產線進行技術升級，現有兩種方案可供選擇：方案是報廢原有生產線，重建一條新的生產線；方案是對原有生產線進行技術改造．由于受諸多不可控因素的影響，市場銷售狀態(tài)可能會發(fā)生變化．該企業(yè)管理者對歷年產品銷售市場行情及回報率進行了調研，編制出下表：

市場銷售狀態(tài)

暢銷

平銷

滯銷

市場銷售狀態(tài)概率

預期平均年利潤（單位：萬元）

方案

700

400

方案

600

300

（1）以預期平均年利潤的期望值為決策依據，問：該企業(yè)應選擇哪種方案？

（2）記該生產線升級后的產品（以下簡稱“新產品”）的年產量為（萬件），通過核算，實行方案時新產品的年度總成本（萬元）為，實行方案時新產品的年度總成本（萬元）為．已知，．若按（1）的標準選擇方案，則市場行情為暢銷、平銷和滯銷時，新產品的單價（元）分別為60，，，且生產的新產品當年都能賣出去．試問：當取何值時，新產品年利潤的期望取得最大值？并判斷這一年利潤能否達到預期目標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，點在對角線上運動.當的面積取得最小值時，點的位置是（ ）

A.線段的三等分點，且靠近點B.線段的中點

C.線段的三等分點，且靠近點D.線段的四等分點，且靠近點

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