Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為與的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).

（1）求證：DE//平面；

（2）若四棱錐的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理可知且，根據(jù)題意可得且,進(jìn)一步可知，然后根據(jù)線面平行的判定定理，可得結(jié)果.

（2）根據(jù)四棱錐的體積，可得，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求得，并得到平面的一個(gè)法向量，然后簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.

證明：（1）取的中點(diǎn)，分別連接，

如圖

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，

所以是的中位線，

所以且.

在平面內(nèi)，知，，

又，，所以//，且.

所以四邊形是平行四邊形，

所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以平行于的直線為軸，

以平行于的直線為軸，以直線為軸，

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)點(diǎn)，則，.

所以有點(diǎn).

因?yàn)樗睦忮F的體積為，

所以，解得，則.

又為中點(diǎn)知，則點(diǎn)坐標(biāo)為.

又點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以.

平面的一個(gè)法向量.

設(shè)直線與平面所成角為，

則.